Trigonometri bisa terasa seperti subjek yang cukup abstrak. Istilah misterius seperti "dosa" dan "cos" sepertinya tidak sesuai dengan apa pun dalam kenyataan, dan sulit untuk memahaminya sebagai konsep. Lingkaran satuan sangat membantu dalam hal ini, menawarkan penjelasan langsung tentang angka yang Anda dapatkan ketika Anda mengambil sinus, kosinus, atau garis singgung suatu sudut. Untuk setiap siswa sains atau matematika, memahami lingkaran satuan benar-benar dapat memperkuat pemahaman Anda tentang trigonometri dan cara menggunakan fungsinya.
TL; DR (Terlalu Panjang; Tidak Membaca)
Lingkaran satuan memiliki jari-jari satu. Bayangkan sebuahxysistem koordinat dimulai dari pusat lingkaran ini. Sudut titik diukur dari manax= 1 dankamu= 0, di sisi kanan lingkaran. Sudut meningkat saat Anda bergerak berlawanan arah jarum jam.
Menggunakan kerangka kerja ini, dankamuUntukkamu-koordinasi danxUntukx-koordinat titik pada lingkaran :
dosaθ = kamu
karenaθ = x
Dan akibatnya:
tanθ = kamu / x
Apa itu Lingkaran Satuan?
Lingkaran “satuan” memiliki jari-jari 1. Dengan kata lain, jarak dari pusat lingkaran ke setiap bagian tepi selalu 1. Satuan ukuran tidak terlalu penting, karena yang terpenting dari lingkaran satuan adalah membuat banyak persamaan dan perhitungan menjadi lebih sederhana.
Ini juga berfungsi sebagai dasar yang berguna untuk melihat definisi sudut. Bayangkan bahwa pusat lingkaran berada di pusat sistem koordinat denganx-sumbu berjalan horizontal dan akamu-sumbu berjalan vertikal. Lingkaran melintasix-sumbu dix = 1, kamu= 0. Para ilmuwan dan ahli matematika mendefinisikan sudut dari titik yang bergerak berlawanan arah jarum jam. Jadi intinyax =1, kamu= 0 pada lingkaran berada pada sudut 0°.
Definisi Sin dan Cos Dengan Lingkaran Satuan
Definisi biasa dari sin, cos dan tan yang diberikan kepada siswa berhubungan dengan segitiga. Mereka menyatakan:
\sin = \frac{\text{lawan}}{\text{sisi miring}} \\ \,\\ \cos = \frac{\text{berdekatan}}{\text{sisi miring}} \\ \, \\ \tan = \frac{\sin }{\cos }
Yang "berlawanan" mengacu pada panjang sisi segitiga yang berhadapan dengan sudut, "bersebelahan" mengacu pada panjang sisi di sebelah sudut dan "sisi miring" mengacu pada panjang sisi diagonal dari segi tiga.
Bayangkan membuat segitiga sehingga sisi miring selalu berjari-jari lingkaran satuan, dengan satu sudut di tepi lingkaran dan satu di tengahnya. Ini berarti bahwa sisi miring = 1 dalam persamaan di atas, sehingga dua yang pertama menjadi:
\sin = \frac{\text{berlawanan}}{1} = \text{berlawanan}\\ \,\\ \cos = \frac{\text{berdekatan}}{1} = \text{berdekatan} \\
Jika Anda menjadikan sudut yang dimaksud sebagai sudut di tengah lingkaran, yang menjadi kebalikannya adalahkamu-koordinat dan yang berdekatan hanyax-koordinat titik pada lingkaran yang menyentuh segitiga. Dengan kata lain, dosa mengembalikankamu-koordinat pada lingkaran satuan (menggunakan koordinat yang dimulai dari pusat) untuk sudut tertentu dan cos mengembalikanx-koordinat. Inilah sebabnya mengapa cos (0) = 1 dan sin (0) = 0, karena pada titik inilah koordinatnya. Demikian juga cos (90) = 0 dan sin (90) = 1, karena ini adalah titik denganx= 0 dankamu= 1. Dalam bentuk persamaan:
\sin = y \\ \cos = x
Sudut negatif juga mudah dipahami atas dasar ini. Sudut negatif (diukur searah jarum jam dari titik awal) memiliki sudut yang samaxkoordinat sebagai sudut positif yang sesuai, sehingga:
\cos -θ = \cos
Namun,kamu-koordinat sakelar, yang berarti bahwa
\sin -θ = -\sin
Definisi Tan Dengan Lingkaran Satuan
Definisi tan yang diberikan di atas adalah:
\tan = \frac{\sin }{\cos }
Tetapi dengan definisi lingkaran satuan sin dan cos, Anda dapat melihat ini setara dengan:
\tan = \frac{\text{berlawanan}}{\text{berdekatan}}
Atau, berpikir dalam hal koordinat:
\tan = \frac{y}{x}
Ini menjelaskan mengapa tan tidak terdefinisi untuk 90 ° atau 270 ° dan 270 ° atau 90 ° (di manax= 0), karena Anda tidak dapat membagi dengan nol.
Grafik Fungsi Trigonometri
Membuat grafik sin atau cos menjadi lebih mudah ketika memikirkan lingkaran satuan. Itux-koordinat bervariasi dengan lancar saat Anda bergerak di sekitar lingkaran, mulai dari 1 dan menurun ke minimum 1 pada 180 °, dan kemudian meningkat dengan cara yang sama. Fungsi sin melakukan hal yang sama, tetapi meningkat ke nilai maksimum 1 pada 90° terlebih dahulu, sebelum mengikuti pola yang sama. Kedua fungsi dikatakan 90 ° keluar dari "fase" satu sama lain.
Grafik tan membutuhkan pembagiankamuolehx, dan lebih rumit untuk membuat grafik, dan juga memiliki titik yang tidak terdefinisi.