Az Algebra jelöli az első igazi fogalmi ugrást, amelyet a tanulóknak meg kell tenniük a matematika világában, megtanulva a változók manipulálását és az egyenletekkel való munkát. Az egyenletekkel való munka kezdetekor néhány gyakori kihívással kell megküzdenie, beleértve a kitevőket, a törteket és a több változót. Mindezek elsajátíthatók néhány alapvető stratégia segítségével.
Az algebrai egyenletek alapstratégiája
Bármely algebrai egyenlet megoldásának alapstratégiája, hogy először a változó tagot izoláljuk az egyik oldalon pontját, majd szükség szerint fordított műveleteket alkalmazzon az együtthatók vagy a kitevői. Egy inverz művelet "visszavonja" egy másik műveletet; például az osztás "visszavonja" az együttható szorzását, és a négyzetgyök "visszavonja" a másodfokú kitevõ négyzetmûveletét.
Vegye figyelembe, hogy ha műveletet alkalmaz az egyenlet egyik oldalára, akkor ugyanazt a műveletet kell alkalmaznia az egyenlet másik oldalán is. A szabály fenntartásával megváltoztathatja az egyenlet feltételeinek írási módját anélkül, hogy megváltoztatnák egymáshoz való viszonyukat.
Egyenletek megoldása kitevőkkel
Azok a típusú hatványszámú egyenletek, amelyekkel az algebrai utazás során találkozni fog, könnyen kitölthetnek egy egész könyvet. Most egyelőre összpontosítson a legalapvetőbb hatványegyenletek elsajátítására, ahol egyetlen változó tag van kitevővel. Például:
y ^ 2 + 3 = 19
Vonjunk le 3-ot az egyenlet mindkét oldaláról, a változó tagot elhagyva az egyik oldalon:
y ^ 2 = 16
Csúsztassa el a kitevőt a változótól az azonos indexű gyök alkalmazásával. Ne feledje, hogy ezt meg kell tennie az egyenlet mindkét oldalán. Ebben az esetben ez azt jelenti, hogy mindkét oldal négyzetgyökét vesszük:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
Ami leegyszerűsíti:
y = 4
Egyenletek megoldása törtekkel
Mi van, ha az egyenlete töredéket tartalmaz? Tekintsük a
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
Ha elosztja a 3/4-es részt (x+ 7), a dolgok gyorsan rendetlenné válhatnak. Itt egy sokkal egyszerűbb stratégia.
Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a tört nevezőjével. Ebben az esetben ez azt jelenti, hogy a frakció mindkét oldalát megszorozzuk 4-gyel:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
Egyszerűsítse az egyenlet mindkét oldalát. Ez a következőképpen működik:
3 (x + 7) = 24
Újra egyszerűsítheti a következőket:
3x + 21 = 24
Vonja le mindkét oldalról a 21-et, elkülönítve a változó tagot az egyenlet egyik oldalán:
3x = 3
Végül oszd meg az egyenlet mindkét oldalát 3-mal, hogy befejezd a megoldástx:
x = 1
Egy egyenlet megoldása két változóval
Ha vanegyegyenlet két változóval, valószínűleg csak ezeknek a változóknak kell megoldania. Ebben az esetben nagyjából ugyanazt az eljárást követi, mint bármely algebrai egyenletnél, egy változóval. Tekintsük a példát
5x + 4 = 2y
ha arra kérik, oldja megx.
Az egyenlet mindkét oldalából vonjon le 3-at, és hagyja axkifejezés önmagában az egyenlőségjel egyik oldalán:
5x = 2y - 4
Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 5-tel, hogy eltávolítsuk az együtthatót axkifejezés:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Ha más információt nem kap, akkor ez a számításokhoz szükséges.
Két egyenlet megoldása két változóval
Ha kapsz egy rendszert (vagy csoportot)kettőegyenletek, amelyekben ugyanaz a két változó van, ez általában azt jelenti, hogy az egyenletek összefüggenek - és a helyettesítés nevű technikával mindkét változó értékét megtalálja. Tekintsük az utolsó példa egyenletét, plusz egy második, összefüggő egyenletet, amely ugyanazokat a változókat használja:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
Válasszon egy egyenletet, és oldja meg az egyenletet az egyik változóra. Ebben az esetben használja azt, amit már tud az előző példa első egyenletéről, amelyet már megoldottx:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Helyettesítse az 1. lépés eredményét a másik egyenlettel. Más szavakkal, helyettesítse az értéket (2y- 4) / 5xa másik egyenletben. Ez csak egy változóval rendelkező egyenletet ad:
\ frac {2y - 4} {5} + 3y = 23
Egyszerűsítse a 2. lépés egyenletét, és oldja meg a fennmaradó változót, ami ebben az esetben azy.
Kezdje úgy, hogy mindkét oldalt megszorozza 5-tel:
5 × \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
Ez leegyszerűsíti:
2y - 4 + 15y = 115
A hasonló kifejezések összekapcsolása után ez tovább egyszerűsödik:
17y = 119
És végül, miután mindkét felet elosztotta 17-tel, a következőket kell tennie:
y = 7
Helyettesítse a 3. lépés értékét az 1. lépés egyenletével. Ez megadja:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
Ami leegyszerűsíti az értékének feltárásátx:
x = 2
Tehát a megoldás erre az egyenletrendszerre azx= 2 ésy = 7.