A polinom gyökereit nullának is nevezik, mert a gyökerek axolyan értékek, amelyeknél a függvény nulla. A gyökerek tényleges megtalálásakor többféle technika áll rendelkezésére; A faktoring a leggyakrabban használt módszer, bár a grafikon is hasznos lehet.
Hány gyökér?
Vizsgálja meg a polinom legmagasabb fokú tagját - vagyis a legmagasabb kitevőjű kifejezést. Ez a kitevő az, hogy a polinomnak hány gyöke lesz. Tehát ha a polinomodban a legmagasabb kitevő 2, akkor ennek két gyökere lesz; ha a legmagasabb kitevő 3, akkor annak három gyökere lesz; stb.
Figyelmeztetések
-
Van egy fogás: A polinom gyökerei lehetnek valósak vagy képzeltek. A "valódi" gyökerek a valós számokként ismert halmaz tagjai, amely matematikai karrierjének ezen a pontján minden szám, amellyel szokott foglalkozni. A képzeletbeli számok elsajátítása teljesen más téma, ezért most csak három dologra kell emlékezni:
- A "képzeletbeli" gyökerek akkor jelennek meg, ha negatív szám négyzetgyöke van. Például √ (-9).
- A képzelt gyökerek mindig párban jönnek.
- A polinom gyökerei lehetnek valósak vagy képzeltek. Tehát ha van egy 5. fokú polinomod, annak öt valódi gyökere lehet, lehet, hogy három valódi gyökere és két képzeletbeli gyöke stb.
Keresse meg a gyökereket faktorozással: 1. példa
A gyökerek megtalálásának legsokoldalúbb módja a polinom lehető legnagyobb mértékű faktora, majd az egyes tagok nulla beállítása. Ez sokkal értelmesebb, ha néhány példát követett. Tekintsük az egyszerű polinomotx2 – 4x:
Egy rövid vizsgálat azt mutatja, hogy tudsz faktort is vennixa polinom mindkét kifejezéséből, amely megadja:
x (x - 4)
Állítsa az egyes kifejezéseket nullára. Ez két egyenlet megoldását jelenti:
x = 0
az első nullára állított kifejezés, és
x - 4 = 0
a nullára állított második kifejezés.
Már megvan a megoldás az első kifejezésre. Hax= 0, akkor a teljes kifejezés nulla. Ígyx= 0 a polinom egyik gyöke vagy nulla.
Most fontolja meg a második kifejezést, és oldja megx. Ha mindkét oldalhoz hozzáad 4-et, akkor:
x - 4 + 4 = 0 + 4
ami leegyszerűsíti:
x = 4
Tehát, hax= 4, akkor a második tényező nulla, ami azt jelenti, hogy a teljes polinom nulla is.
Mivel az eredeti polinom másodfokú volt (a legmagasabb kitevő kettő volt), tudod, hogy ennek a polinomnak csak két lehetséges gyökere van. Már megtalálta mindkettőt, így csak fel kell sorolnia őket:
x = 0, x = 4
Keresse meg a gyökereket faktorozással: 2. példa
Itt van még egy példa arra, hogyan lehet faktorok segítségével megtalálni a gyökereket, útközben valamilyen divatos algebra használatával. Tekintsük a polinomotx4 – 16. Az exponensek gyors áttekintése megmutatja, hogy ennek a polinomnak négy gyökerének kell lennie; itt az ideje megtalálni őket.
Észrevette, hogy ez a polinom négyzetkülönbségként átírható? Tehát ahelyettx4 - 16, van:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Amely a négyzetek különbségének képletét használva a következőket számolja ki:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
Az első kifejezés ismét négyzetek különbsége. Tehát bár a jobb oldali kifejezést nem lehet tovább faktorozni, a bal oldali kifejezést még egy lépésben:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Itt az ideje megtalálni a nullákat. Gyorsan kiderül, hogy hax= 2, az első tényező nulla lesz, és így a teljes kifejezés nulla lesz.
Hasonlóképpen, hax= −2, a második tényezõ nulla lesz, így a teljes kifejezés is.
Ígyx= 2 ésx= −2 ennek a polinomnak mind a nulla, vagy a gyöke.
De mi van azzal az utolsó kifejezéssel? Mivel "2" kitevője van, két gyökerűnek kell lennie. De nem veheti figyelembe ezt a kifejezést a megszokott valós számok felhasználásával. Használnia kell egy nagyon fejlett matematikai fogalmat, amelyet képzeletbeli számoknak, vagy ha úgy tetszik, komplex számoknak nevezünk. Ez messze meghaladja a jelenlegi matekgyakorlatod kereteit, ezért most elég megjegyezni, hogy két valódi gyökere van (2 és −2), és két képzeletbeli gyökere van, amelyeket meghatározatlanul hagysz.
Keresse meg a Gyökereket grafikon segítségével
A gyökereket grafikusan is megtalálhatja, vagy legalábbis megbecsülheti. Minden gyök egy helyet jelöl, ahol a függvény grafikonja keresztezi axtengely. Tehát, ha megrajzolja a vonalat, majd megjegyzi axkoordinátái, ahol a vonal keresztezi axtengely, beillesztheti a becsült értéketxe pontok értékeit az egyenletbe, és ellenőrizze, hogy helyesek-e.
Tekintsük az első példát, amelyet a polinomra dolgoztatokx2 – 4x. Ha óvatosan kihúzza, látni fogja, hogy a vonal keresztezi axtengely atx= 0 ésx= 4. Ha ezeket az értékeket beírja az eredeti egyenletbe, a következőket kapja:
0^2 - 4(0) = 0
ígyx= 0 érvényes nulla vagy gyök volt ennek a polinomnak.
4^2 - 4(4) = 0
ígyxA = 4 szintén érvényes nulla vagy gyök ennek a polinomnak. És mivel a polinom 2 fokos volt, tudod, hogy két gyökér megtalálása után abbahagyhatod a keresést.