Amikor három egyenletből és három ismeretlenből (változóból) indul, azt gondolhatja, hogy elegendő információ áll rendelkezésére az összes változó megoldásához. Ha azonban lineáris egyenletrendszert oldunk meg az eliminációs módszer segítségével, akkor azt tapasztalhatjuk, hogy a rendszer nem elég határozott ahhoz, hogy egyetlen választ találjon, és ehelyett végtelen számú megoldás van lehetséges. Ez akkor fordul elő, amikor a rendszer egyik egyenletében szereplő információ felesleges a többi egyenletben található információval.
2x2 példa
3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Ez az egyenletrendszer egyértelműen felesleges. Hozhat létre egy egyenletet a másikból, ha csak megszoroz egy konstanssal. Más szavakkal, ugyanazt az információt közvetítik. Annak ellenére, hogy a két ismeretlennek két egyenlete van, x és y, ennek a rendszernek a megoldása nem szűkíthető le egy x értékre és egy y értékre. (x, y) = (1,1) és (5 / 3,0) egyaránt megoldja, akárcsak sok más megoldás. Ez az a fajta „probléma”, ez az információhiány, amely végtelen számú megoldáshoz vezet nagyobb egyenletrendszerekben is.
3x3 példa
× + y + z = 10 x + y + z = 10 _2y= 10 x_ +z = 5 Szüntesse meg x-et a harmadik sorból úgy, hogy kivonja a harmadik sort az elsőből. x + y + z = 10 _2y=10 y= 5 Nyilvánvaló, hogy az utolsó két egyenlet egyenértékű. y értéke 5, és az első egyenlet egyszerűsíthető y kiküszöbölésével. x + 5 + z = 10 y __ = 5 vagy x + z = 5 y = 5 Ne feledje, hogy az eliminációs módszer itt nem hoz létre szép háromszög alakot, mint akkor, ha egyetlen egyedi megoldás létezik. Ehelyett az utolsó egyenlet (ha nem több) maga fog felszívódni a többi egyenletbe. A rendszer most három ismeretlenből áll, és csak két egyenletből áll. A rendszert „aluldetermináltnak” hívják, mert nincs elég egyenlet az összes változó értékének meghatározásához. Végtelen számú megoldás lehetséges.
A végtelen megoldás megírása
A fenti rendszer végtelen megoldása egy változóra írható. Írásának egyik módja (x, y, z) = (x, 5,5-x). Mivel az x végtelen számú értéket vehet fel, a megoldás végtelen számú értéket vehet fel.