A valós számok egy számegyenes számai, amelyek a negatív végtelenségtől a nulla és a pozitív végtelen között terjednek. A valós számok halmazának ez a felépítése nem önkényes, sokkal inkább a számláláshoz használt természetes számok evolúciójának eredménye. A természetes számok rendszerének több ellentmondása van, és ahogy a számítások bonyolultabbak lettek, a számrendszer kibővült, hogy kezelje korlátait. Valódi számok esetén a számítások következetes eredményeket adnak, és kevés olyan kivétel vagy korlátozás létezik, mint amilyen a számrendszer primitívebb verzióinál volt.
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
A valós számok halmaza egy számegyenes összes számából áll. Ez magában foglalja a természetes számokat, az egész számokat, az egész számokat, a racionális számokat és az irracionális számokat. Nem tartalmaz képzeletbeli számokat vagy komplex számokat.
Természetes számok és bezárás
A lezárás egy számhalmaz tulajdonsága, ami azt jelenti, hogy ha engedélyezett számításokat hajtanak végre a halmaz tagjai számára, akkor a válaszok a halmaz tagjai is lesznek. Állítólag a készlet zárva van.
A természetes számok a számláló számok, 1, 2, 3..., és a természetes számok halmaza nincs lezárva. Mivel a kereskedelemben természetes számokat használtak, azonnal két probléma merült fel. Míg a természetes számok valós tárgyakat számoltak, például teheneket, ha egy gazdának öt tehene volt és öt tehenet adott el, az eredménynek nem volt természetes száma. A korai számrendszerek nagyon gyorsan kifejlesztettek egy nulla kifejezést a probléma kezelésére. Az eredmény az egész számok rendszere volt, ami a természetes szám plusz nulla.
A második probléma a kivonással is társult. Amíg a számok valódi tárgyakat számoltak, például teheneket, a gazda nem tudott több tehenet eladni, mint amennyivel rendelkezett. De amikor a számok elvontakká váltak, nagyobb számok kivonása a kisebbekből egész számok rendszerén kívül adott választ. Ennek eredményeként egész számokat vezettek be, amelyek egész számok plusz negatív természetes számok. A számrendszer most egy teljes számot tartalmazott, de csak egész számokkal.
Racionális számok
A zárt számrendszerben végzett számításoknak meg kell adniuk a választ a számrendszeren belül műveletek, például összeadás és szorzás, hanem inverz műveleteik, kivonásuk és osztály. Az egész számok rendszere összeadás, kivonás és szorzás miatt zárt, az osztás azonban nem. Ha egy egész számot elosztunk egy másik egész számmal, az eredmény nem mindig egész szám.
Ha egy kis egész számot elosztunk egy nagyobbal, akkor egy töredéket kapunk. Az ilyen törtek racionális számként kerültek a számrendszerbe. A racionális számokat bármely olyan számként definiálhatjuk, amely két egész szám arányában kifejezhető. Bármely tetszőleges decimális szám kifejezhető racionális számként. Például a 2,864 értéke 2864/1000, a 0,89632 pedig 89632/100 000. Úgy tűnt, hogy a számsor befejeződött.
Irracionális számok
A számegyenesen vannak olyan számok, amelyek nem fejezhetők ki egész számok töredékeként. Az egyik a derékszögű háromszög és a hipotenusz oldalainak aránya. Ha a derékszögű háromszög két oldala 1 és 1, akkor a hipotenusz a 2 négyzetgyöke. A kettő négyzetgyöke végtelen tizedes, amely nem ismétlődik meg. Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük, és minden valós számot tartalmaznak, amelyek nem racionálisak. Ennél a meghatározásnál az összes valós szám számvonala teljes, mert az irracionális definícióba beletartozik minden más valós szám, amely nem racionális.
végtelenség
Bár a valós számegyenes állítólag negatívról pozitív végtelenre terjed ki, maga a végtelen nem a valós szám, hanem a számrendszer fogalma, amely azt határozza meg, hogy a nagyobbnál nagyobb mennyiség szám. Matematikailag a végtelen a válasz az 1 / x-re, amikor x eléri a nullát, de a nullával való felosztás nincs meghatározva. Ha a végtelenség szám lenne, az ellentmondásokhoz vezetne, mert a végtelen nem követi az aritmetika törvényeit. Például a végtelen plusz 1 még mindig végtelen.
Képzeletbeli számok
A valós számok halmaza összeadás, kivonás, szorzás és osztás miatt lezárt, kivéve a nullával való osztást, amely nincs meghatározva. A készlet legalább egy másik műveletnél nincs lezárva.
A valós számok halmazának szorzási szabályai meghatározzák, hogy a negatív és az a szorzata A pozitív szám negatív számot ad, míg a pozitív vagy negatív szám szorzata pozitív válaszokat. Ez azt jelenti, hogy a szám önmagában történő szorzásának speciális esete pozitív és negatív számok esetén egyaránt pozitív számot eredményez. Ennek a speciális esetnek az inverze a pozitív szám négyzetgyöke, amely pozitív és negatív választ is ad. A negatív szám négyzetgyökére nincs válasz a valós számok halmazában.
A képzeletbeli számok halmazának koncepciója a valós számok negatív négyzetgyökeinek kérdésével foglalkozik. A mínusz 1 négyzetgyöke i-ként van meghatározva, és minden képzeletbeli szám i többszöröse. A számelmélet befejezéséhez a komplex számok halmazát úgy definiáljuk, hogy az magában foglalja az összes valós és minden képzelt számot. A valós számok továbbra is vízszintes számegyenesen jeleníthetők meg, míg a képzeletbeli számok függőleges számegyenesek, a kettő nulla metszéspontú. A komplex számok a két számegyenes síkjában lévő pontok, mindegyiknek van egy valós és egy képzeletbeli komponense.