Az Algebra gyakran magában foglalja a kifejezések egyszerűsítését, de egyes kifejezések zavaróbbak, mint másokkal. A komplex számok tartalmazzák az úgynevezett mennyiségetén, egy „képzeletbeli” szám a tulajdonsággalén= √−1. Ha egyszerűen egy összetett számot tartalmazó kifejezést kell megadnia, az ijesztőnek tűnhet, de ez az egyszerű szabályok megtanulása után meglehetősen egyszerű folyamat.
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
Egyszerűsítse a komplex számokat az algebra és a komplex számok szabályainak betartásával.
Mi az a komplex szám?
A komplex számokat aénkifejezés, amely a mínusz egy négyzetgyöke. Az alapszintű matematikában a negatív számok négyzetgyökei valójában nem léteznek, de alkalmanként algebrai problémákban jelennek meg. A komplex szám általános alakja megmutatja szerkezetüket:
z = a + bi
Holzfeliratozza a komplex számot,atetszőleges számot képvisel (az úgynevezett „valós” részt), ésbegy másik számot képvisel („képzeletbeli” résznek hívják), mindkettő lehet pozitív vagy negatív. Tehát egy példa a komplex számra:
z = 2 −4i
Mivel a negatív számok összes négyzetgyöke a többszörösével ábrázolhatóén, ez az összes komplex szám űrlapja. Technikailag egy reguláris szám csak egy komplex szám speciális esetét írja le, aholb= 0, tehát minden szám komplexnek tekinthető.
Az összetett számokkal rendelkező algebra alapszabályai
Összetett számok összeadásához és kivonásához egyszerűen csak külön kell hozzáadni vagy kivonni a valós és a képzeletbeli részeket. Tehát a komplex számokhozz = 2 – 4énésw = 3 + 5én, az összeg:
\ kezdődik {igazítva} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {igazítva}
A számok kivonása ugyanúgy működik:
\ kezdete {igazítva} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ vége {igazítva }
A szorzás egy másik egyszerű művelet bonyolult számokkal, mert úgy működik, mint a szokásos szorzás, kivéve, hogy ezt emlékeznie kellén2 = −1. Tehát a 3 kiszámításáhozén × −4én:
3i × -4i = -12i ^ 2
De azótaén2= −1, akkor:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Teljes komplex számokkal (az = 2 – 4énésw = 3 + 5énmegint), ugyanúgy megszorozod őket, mint a (a + b) (c + d), az „első, belső, külső, utolsó” (FOIL) módszer alkalmazásával (a + b) (c + d) = ac + időszámításunk előtt + hirdetés + bd. Csak arra kell emlékeznie, hogy le kell egyszerűsítenie az eseteketén2. Tehát például:
\ kezdődik {igazítva} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ vég {igazítva}
Komplex számok megosztása
A komplex számok felosztásával meg kell szorozni a tört számlálóját és nevezőjét a nevező komplex konjugátumával. A komplex konjugátum csak a komplex szám változatát jelenti a képzeletbeli rész előjelével megfordítva. Ígyz = 2 – 4én, a komplex konjugátumz = 2 + 4én, és aw = 3 + 5én, w = 3 −5én. A problémára:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
A szükséges konjugátum azw*. Osszuk el ezzel a számlálót és a nevezőt, hogy megkapjuk:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
És akkor átdolgozza, mint az előző részben. A számláló megadja:
\ begin {igazítva} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {igazítva}
A nevező pedig a következőket adja:
\ elején {igazítva} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ vége {igazítva}
Ez azt jelenti, hogy:
\ begin {aligned} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {igazítva}
Összetett számok egyszerűsítése
Szükség szerint használja a fenti szabályokat az összetett kifejezések egyszerűsítéséhez. Például:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Ez egyszerűsíthető a számlálóban lévő összeadási szabály, a nevezőben a szorzási szabály használatával, majd az osztás befejezésével. A számláló számára:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
A nevező esetében:
\ begin {igazítva} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ end {igazítva}
Ezeknek a helyére történő visszaállítása:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Ha mindkét részt megszorozzuk a nevező konjugátumával, a következőket kapjuk:
\ begin {aligned} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {igazítva}
Tehát ez azt jelentiza következőképpen egyszerűsíti:
\ begin {aligned} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {igazítva}