Hasonló háromszögek azonos alakúak, de nem feltétlenül azonos méretűek. Ha a háromszögek hasonlóak, sok tulajdonságuk és tulajdonságuk megegyezik. A háromszög hasonlóság tételei meghatározzák azokat a feltételeket, amelyek mellett két háromszög hasonló, és ezek az egyes háromszögek oldalával és szögeivel foglalkoznak. Miután a szögek és az oldalak egy meghatározott kombinációja kielégíti a tételeket, a háromszögeket hasonlónak tekinthetjük.
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
Három háromszög hasonlósági tétel határoz meg, amelyek között a háromszögek hasonlóak:
- Ha a szögek közül kettő megegyezik, a harmadik szög megegyezik és a háromszögek hasonlóak.
- Ha a három oldal azonos arányban van, akkor a háromszögek hasonlóak.
- Ha két oldal azonos arányban van, és a benne foglalt szög azonos, akkor a háromszögek hasonlóak.
Az AA, AAA és a Szög-Szög Tételek
Ha két háromszög szöge közül kettő megegyezik, akkor a háromszögek hasonlóak. Ez világossá válik a megfigyelésből, miszerint a háromszög három szögének 180 fokosnak kell lennie. Ha a szögek közül kettő ismert, a harmadik megtalálható, ha a két ismert szöget kivonjuk 180-ból. Ha két háromszög három szöge megegyezik, akkor a háromszögek azonos alakúak és hasonlóak.
Az SSS vagy az oldalsó oldalsó tétel
Ha két háromszög mindhárom oldala megegyezik, akkor a háromszögek nemcsak hasonlóak, hanem egybevágók vagy azonosak is. Hasonló háromszögek esetében két háromszög három oldalának csak arányosnak kell lennie. Például, ha egy háromszög oldalai 3, 5 és 6 hüvelykek, a másik háromszög oldalai pedig 9, 15 és 18 hüvelyk, a nagyobb háromszög mindegyik oldala háromszorosa a kisebbik egyik oldalának háromszög. Az oldalak arányban vannak egymással, és a háromszögek hasonlóak.
Az SAS vagy az oldalsó szög oldali tétel
Két háromszög hasonló, ha két háromszög oldalának két oldala arányos, és a benne foglalt szög, vagy az oldalak közötti szög megegyezik. Például, ha egy háromszög két oldala 2 és 3 hüvelyk, egy másik háromszögé pedig 4 és 6 hüvelyk, az oldalak arányosak, de a háromszögek nem lehetnek hasonlóak, mert a két harmadik oldal bármelyik lehet hossz. Ha a mellékelt szög megegyezik, akkor a háromszögek mindhárom oldala arányos és a háromszögek hasonlóak.
Egyéb lehetséges szög-oldal kombinációk
Ha a három háromszög hasonlósági tétel egyikének teljesül két háromszög, akkor a háromszögek hasonlóak. De vannak más lehetséges oldal-szög kombinációk, amelyek garantálhatják vagy nem garantálják a hasonlóságot.
A sarokszög-oldal (AAS), a szög-oldal-szög (ASA) vagy az oldal-szög-szög (SAA) néven ismert konfigurációknál nem mindegy, hogy mekkora oldalak vannak; a háromszögek mindig hasonlóak lesznek. Ezek a konfigurációk az AA szög-szög tételre redukálódnak, ami azt jelenti, hogy mindhárom szög azonos és a háromszögek hasonlóak.
Az oldal-szög vagy a szög-oldal konfigurációk azonban nem biztosítják a hasonlóságot. (Ne tévessze össze az oldal-oldal-szöget az oldal-oldal-szöggel; az egyes nevekben szereplő "oldalak" és "szögek" arra a sorrendre utalnak, amelyben az oldalakkal és szögekkel találkoznak.) Bizonyos esetekben, például derékszögű háromszögek esetében, ha két oldal arányos és a nem szögek megegyeznek, akkor a háromszögek hasonló. Minden más esetben a háromszögek hasonlóak lehetnek vagy nem.
Hasonló háromszögek illeszkednek egymásba, lehetnek párhuzamos oldalúak és méretarányosak. Annak meghatározása, hogy két háromszög hasonló-e a háromszög hasonlósági tételekkel, fontos, ha ilyen jellemzőket alkalmaznak a geometriai problémák megoldására.