A legtöbb ember emlékszik aPitagorasz tételkezdő geometriától - ez klasszikus. Ez az
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
hola, béscderékszögű háromszög oldalai (ca hipotenusz). Nos, ezt a tételt trigonometria céljából is át lehet írni!
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
A Pitagoraszi azonosságok olyan egyenletek, amelyek a Pythagorasz-tételt a trig függvények alapján írják.
A főPitagorai identitásokvannak:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ cot ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
A pitagorai identitások erre példáktrigonometrikus azonosságok: egyenletek (egyenletek), amelyek trigonometrikus függvényeket használnak.
Miért számít?
A pythagoreus identitások nagyon hasznosak lehetnek a bonyolult trig utasítások és egyenletek egyszerűsítésében. Jusson eszébe most, és rengeteg időt takaríthat meg magának az úton!
Bizonyítás a trig függvények definícióinak felhasználásával
Ezeket az identitásokat nagyon egyszerű bizonyítani, ha belegondolunk a trig függvények definícióiba. Például bizonyítsuk be
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Ne feledje, hogy a szinusz definíciója ellentétes oldal / hipotenusz, és a koszinusz a szomszédos oldal / hipotenusz.
Így
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {szemben} ^ 2} {\ text {hipotenusz} ^ 2}
És
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {szomszédos} ^ 2} {\ text {hipotenusz} ^ 2}
Ezt a kettőt könnyen összeadhatja, mert a nevezők ugyanazok.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {szemben} ^ 2 + \ text {szomszédos} ^ 2} {\ text {hipotenusz} ^ 2}
Most vessen egy újabb pillantást a Pitagorasz-tételre. Ezt mondjaa2 + b2 = c2. Tartsd észben, hogyaésbálljon a szemközti és a szomszédos oldalakra, ésca hipotenuszt jelenti.
Átrendezheti az egyenletet úgy, hogy mindkét felét elosztjac2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Mivela2 ésb2 az ellentétes és a szomszédos oldalak ésc2 a hipotenusz, akkor egyenértékű állítása van a fentivel, a2 + szomszédos2) / hipotenusz2. És hála a munkávala, b, cés a Pitagorasz-tétel, most láthatja, hogy ez az állítás egyenlő 1-vel!
Így
\ frac {\ text {szemben} ^ 2 + \ text {szomszédos} ^ 2} {\ text {hipotenusz} ^ 2} = 1
és ezért:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(És jobb, ha rendesen kiírod: bűn2(θ) + cos2(θ) = 1).
A kölcsönös azonosságok
Töltsünk el néhány percet akölcsönös azonosságokis. Ne feledje, hogy akölcsönösaz egyik el van osztva a számoddal ("felett") - más néven inverz.
Mivel a koszant a szinusz reciproka:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Gondolhat a cosecantra a szinusz definíciójának használatával is. Például, szinusz = ellentétes oldal / hipotenusz. Ennek fordítottja lesz a fejjel lefelé fordított frakció, amely hipotenusz / ellentétes oldal.
Hasonlóképpen, a koszinusz reciproka szekundáns, tehát a következőképpen van meghatározva
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {vagy} \ frac {\ text {hipotenusz}} {\ text {szomszédos oldal}}
És az érintő reciproka kotangens, tehát
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {szomszédos oldal}} {\ text {szemközti oldal}}
A szekán és a koszekán alkalmazásával végzett pythagoreus identitások igazolása nagyon hasonlít a szinuszra és a koszinuszra. Az egyenleteket a "szülő" egyenlet, a sin segítségével is levezetheti2(θ) + cos2(θ) = 1. Oszd meg mindkét oldalt cos-val2(θ) az identitás 1 + bar2(θ) = sec2(θ). Oszd meg mindkét oldalt a bűn által2(θ) az identitás 1 + kiságy megszerzéséhez2(θ) = csc2(θ).
Sok szerencsét, és mindenképpen jegyezze meg a három pitagorasi identitást!