A matematikában egy ellenpéldát használnak egy állítás megcáfolására. Ha be akarja bizonyítani, hogy egy állítás igaz, akkor igazolást kell írnia annak igazolására, hogy mindig igaz; nem elegendő példát mondani. A bizonyíték megírásához képest az ellenpélda megírása sokkal egyszerűbb; ha be akarja mutatni, hogy egy állítás nem igaz, akkor csak egy példát kell megadnia arra a forgatókönyvre, amelyben az állítás hamis. Az algebra legtöbb ellenpéldája numerikus manipulációval jár.
Két osztály a matematika
A bizonyításírás és az ellenpéldák megtalálása a matematika első osztályai közül kettő. A legtöbb matematikus a bizonyításra összpontosít, hogy új tételeket és tulajdonságokat dolgozzon ki. Amikor az állítások vagy a sejtések nem igazolhatók, a matematikusok ellenpéldákkal adják meg őket.
Az ellenpéldák konkrétak
Változók és absztrakt jelölések helyett numerikus példákkal is megcáfolhatja az argumentumot. Az algebrában az ellenpéldák többsége különböző pozitív és negatív vagy páratlan és páros számok, szélsőséges esetek és speciális számok, például 0 és 1 felhasználásával történő manipulációt foglalja magában.
Egy ellenpélda elegendő
Az ellenpélda filozófiája az, hogy ha egy forgatókönyv szerint az állítás nem igaz, akkor az állítás hamis. Nem matematikai példa: "Tom még soha nem mondott hazugságot". Annak bizonyításához, hogy ez az állítás igaz, be kell nyújtania "bizonyítékot" arra, hogy Tom soha nem mondott hazugságot, követve minden egyes állítást, amelyet Tom valaha tett. Ennek az állításnak a cáfolásához azonban csak egyetlen hazugságot kell kimutatnia, amelyet Tom valaha is elmondott.
Híres ellenpéldák
"Minden prímszám páratlan." Bár szinte minden prímszám, beleértve a 3 feletti prímokat is, páratlan, a "2" páros prímszám; ez az állítás hamis; A "2" a vonatkozó ellenpélda.
"A kivonás kommutatív." Az összeadás és a szorzás egyaránt kommutatív - tetszőleges sorrendben végezhetők. Vagyis bármely a és b valós szám esetén a + b = b + a és a * b = b * a. A kivonás azonban nem kommutatív; ezt bizonyító ellenpélda: 3 - 5 nem egyenlő 5 - 3-mal.
"Minden folyamatos funkció megkülönböztethető." Az | x | abszolút függvény folytonos minden pozitív és negatív szám esetén; de x = 0-nál nem differenciálható; mivel | x | folyamatos függvény, ez az ellenpélda azt bizonyítja, hogy nem minden folyamatos függvény különböztethető meg.