Míg az angol "szekvencia" és "sorozat" szavak jelentése hasonló, a matematikában teljesen más fogalmakról van szó. A szekvencia egy meghatározott sorrendben elhelyezett számok listája, míg a sorozat egy ilyen számlista összege. Sokféle szekvencia létezik, beleértve a végtelen számlistákon alapuló szekvenciákat is. A különböző szekvenciáknak és a megfelelő sorozatoknak különböző tulajdonságaik vannak, és meglepő eredményeket adhatnak.
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
A szekvenciák a megadott szabályok szerint meghatározott sorrendben elhelyezett számok listája. A szekvenciának megfelelő sorozat az adott szekvencia számainak összege. A sorozat lehet számtani, vagyis fix különbség van a sorozat számai között, vagy geometriai, vagyis fix tényező van. A végtelen sorozatoknak nincs végleges számuk, de bizonyos feltételek mellett mégis fix összegük lehet.
Szekvenciák és sorozatok típusai
A gyakori szekvenciák számtani vagy geometriai. Számtani szekvenciában a szekvencia minden egyes száma vagy tagja azonos összeggel tér el az előző tagtól. Például, ha egy aritmetikai szekvencia különbség 2, akkor a megfelelő számtani szekvencia 1, 3, 5 lehet... Ha a különbség -3, akkor egy sorozat 4, 1, -2 lehet... A számtani sorrendet a kezdő szám és a különbség határozza meg.
Geometriai szekvenciák esetében a kifejezések tényezőnként különböznek egymástól. Például egy 2-es faktorú szekvencia lehet 2, 4, 8... és egy 0,75-es tényezővel rendelkező szekvencia 32, 24, 18 lehet... A geometriai sorrendet a kezdő szám és a tényező határozza meg.
A sorozat típusai a hozzáadandó sorrendtől függenek. Egy számtani sorozat egy számtani szekvencia, egy geometriai sorozat pedig egy geometriai sorrendet ad hozzá.
Véges és végtelen szekvenciák és sorozatok
A szekvenciák és a hozzájuk tartozó sorozatok alapulhatnak fix terminusszámon vagy végtelen számon. A véges szekvenciának van kezdő száma, különbsége vagy tényezője, és rögzített összes terminusa van. Például a fenti első aritmetikai szekvencia nyolc taggal 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 lenne. Az első geometriai sorrend hat kifejezéssel 2, 4, 8, 16, 32, 64. A megfelelő számtani sorozat értéke 64, a geometriai sora pedig 126. A végtelen szekvenciák nem rendelkeznek fix számú kifejezéssel, és terminusaik a végtelenségig növekedhetnek, nullára csökkenhetnek, vagy megközelíthetnek egy fix értéket. A megfelelő sorozatnak végtelen, nulla vagy fix eredménye is lehet.
Konvergens és Divergens sorozat
A végtelen sorok divergensek, ha az összeg a terminusok számának növekedésével a végtelenséghez közelít. A végtelen sorozat akkor konvergens, ha összege megközelít egy nem végtelen értéket, például nullát vagy más rögzített számot. A sorozat akkor konvergens, ha az alapul szolgáló szekvencia feltételei gyorsan megközelítik a nullát.
Az a sorozat, amely az 1., 2., 4. végtelen szekvencia feltételeit adja hozzá... divergens, mert a szekvencia feltételei folyamatosan nőnek, így az összeg végtelen értéket érhet el, amikor a tagok száma növekszik. 1., 0.5, 0.25 sorozat konvergens, mert a kifejezések gyorsan nagyon kicsik.
Míg a szekvenciák rendezett számlisták, a sorok pedig összegek, mindkettő fontos eszköz lehet a számhalmazok kiértékelése, és a konvergencia vagy divergencia tulajdonságainak valós életük lehet következményei. A divergens sorozat gyakran instabil állapotot képvisel, míg a konvergens sorozat gyakran azt jelenti, hogy egy folyamat vagy szerkezet stabil lesz.