Jeste li ikada vidjeli jednu od onih ptica-igračaka koja je u stanju uravnotežiti vrh vašeg prsta kljunom, a da se ne prevrne, kao magijom? Nije magija ta koja ptici uopće omogućuje ravnotežu, već jednostavna fizika povezana sa središtem mase.
Razumijevanje fizike koja stoji iza središta mase omogućuje vam ne samo razumijevanje očuvanja zamaha i ostalih srodnih stvari fizike, ali također može informirati o stabilnosti i dinamici u sportovima kojima se bavite, kao i omogućiti vam kreativno balansiranje djeluje.
Definicija središta mase
Predmetsredište mase, koje se ponekad naziva i težištem, može se smatrati točkom u kojoj se ukupna masa predmeta ili sustava može tretirati kao točkovna masa. U određenim se situacijama vanjske sile mogu tretirati kao da djeluju na središte mase objekta.
Za igračku pticu koja balansira na vrhu prsta, središte mase je u kljunu. To bi se u početku moglo činiti pogrešnim, zbog čega se čin uravnoteženja čini čarobnim. Zapravo, za pticu koja sjedi na grani, središte mase nalazi se negdje u tijelu. No, igračka za uravnotežujuću pticu često ima ponderirana krila koja se pružaju prema van i prema naprijed, što uzrokuje drugačiju ravnotežu.
Središte mase može se odrediti za jedan objekt - poput ptice uravnotežiteljice - ili se može izračunati za sustav od nekoliko objekata, kao što ćete vidjeti u kasnijem odjeljku.
Središnje mjesto za jedan objekt
Uvijek će postojati jedna točka na krutom tijelu koja je mjesto središta mase tog tijela. Položaj središta mase predmeta ovisi o raspodjeli mase.
Ako je objekt jednolike gustoće, lakše je odrediti njegovo središte mase. Na primjer, u krugu jednolike gustoće središte mase je središte kruga. (Međutim, to ne bi bio slučaj da je krug s jedne strane gušći od druge).
Zapravo, središte mase uvijek će biti u geometrijskom središtu predmeta kada je gustoća jednolična. (Ovo geometrijsko središte naziva secentroid.)
Ako gustoća nije jednolična, postoje i drugi načini za određivanje središta mase. Neke od ovih metoda uključuju upotrebu računa, što je izvan dosega ovog članka. Ali jedan jednostavan način određivanja središta mase krutog predmeta jest jednostavno pokušavanje uravnotežiti ga na vrhu prsta. Središte mase bit će na točki uravnoteženja.
Druga metoda, korisna za planarne objekte, je kako slijedi:
- Obustavite oblik s jedne rubne točke zajedno s okomitom linijom.
- Nacrtajte crtu na obliku koji se poravnava s olovkom.
- Obustavite oblik s druge rubne točke zajedno s okomitom linijom.
- Nacrtajte liniju na obliku koji se poravnava s novom olovkom.
- Dvije povučene crte trebale bi se sijeći u jednoj točki.
- Ovo jedinstveno sjecište je mjesto središta mase.
Međutim, za neke je objekte moguće da točka ravnoteže bude izvan granica samog predmeta. Sjetite se, na primjer, prstena. Središte mase oblika prstena je u središtu, gdje uopće ne postoji nijedan dio prstena.
Središte mase sustava čestica
Položaj središta mase za sustav čestica može se smatrati njihovim prosječnim položajem mase.
Ista ideja može se koristiti kao za kruti objekt ako zamislite da je ovaj sustav čestica povezan krutom, bezmasnom ravninom. Središte mase tada bi bilo točka ravnoteže tog sustava.
Da bi se matematički odredio centar mase sustava čestica, može se koristiti sljedeća jednostavna formula:
\ vec {r} = \ frac {1} {M} (m_1 \ vec {r_1} + m_2 \ vec {r_2} + ...
GdjeMje ukupna masa sustava,mjajesu li pojedine mase irjasu njihovi vektori položaja.
U jednoj dimenziji (za mase raspoređene duž ravne crte) možete ih zamijenitirsx.
U dvije dimenzije možete pronaćix-koordinirati ig-koordinata središta mase odvojeno kao:
x_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1x_1 + m_2x_2 +... \\ \ text {} \\ y_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1y_1 + m_2y_2 + ...
Primjeri izračunavanja središta mase
Primjer 1:Pronađite koordinate središta mase sljedećeg sustava čestica: čestica mase 0,1 kg nalazi se na (1, 2), čestica mase 0,05 kg nalazi se na (2, 4) i čestica mase 0,075 kg nalazi se na (2, 1).
Rješenje 1:Primijenite formulu zax-koordinata središta mase kako slijedi:
x_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3) \\\ tekst {} \\ = \ frac {1} {0.1 + 0.05 + 0.075} (0.1 (1) + 0.05 (2 ) + 0,075 (2)) \\\ tekst {} \\ = 0,079
Zatim primijenite formulu zag-koordinata središta mase kako slijedi:
y_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3) \\\ tekst {} \\ = \ frac {1} {0.1 + 0.05 + 0.075} (0.1 (2) + 0.05 (4 ) + 0,075 (1)) \\\ tekst {} \\ = 2.11
Dakle, mjesto središta mase je (0,079, 2,11).
Primjer 2:Nađite mjesto središta mase jednolikog jednakostraničnog trokuta jednolike gustoće čiji vrhovi leže u točkama (0, 0), (1, 0) i (1/2, √3 / 2).
Rješenje 2:Morate pronaći geometrijsko središte ovog jednakostraničnog trokuta s duljinom stranice 1. Thex-koordinata geometrijskog središta je izravna - jednostavno je 1/2.
Theg-koordinata je malo nezgodnija. Na mjestu će se dogoditi da se crta od vrha trokuta do točke (0, 1/2) siječe s linijom iz bilo kojeg drugog vrha do središnje točke jedne od suprotnih stranica. Ako skicirate takav raspored, naći ćete se s 30-60-90 pravokutnim trokutom čija je dugačka noga 0,5, a kratka nogag-Koordinirati. Odnos između ovih stranica je √3y = 1/2, dakle y = √3 / 6, a koordinate središta mase su (1/2, √3 / 6).
Prijedlog centra za misu
Položaj središta mase objekta ili sustava predmeta može se koristiti kao referentna točka u mnogim fizičkim proračunima.
Na primjer, kada radite sa sustavom čestica koje međusobno djeluju, pronalaženje središta mase sustava omogućuje razumijevanje linearnog zamaha. Kada se sačuva linearni zamah, središte mase sustava kretat će se konstantnom brzinom čak i kad se objekti sami odbijaju.
Za kruti predmet koji pada, gravitacija se može tretirati kao da djeluje na središte mase tog predmeta, čak i ako se taj objekt rotira.
Isto vrijedi i za projektile. Zamislite da bacate čekić i dok leti kroz luk u zraku, okreće se kraj preko kraja. To bi se u početku moglo činiti složenim kretanjem modela, ali ispada da se središte mase čekića kreće lijepom glatkom paraboličnom stazom.
Može se izvesti jednostavan eksperiment koji to pokazuje zalijepljivanjem malog komadića užarene trake na središte mase čekića, a zatim bacanjem čekića kako je opisano u mračnoj sobi. Čini se da se sjajna traka pomiče u glatkom luku, poput bačene lopte.
Jednostavan eksperiment: pronađite središte mase metle
Zabavni eksperiment sa središtem mase koji možete izvoditi kod kuće uključuje upotrebu jednostavne tehnike za pronalaženje središta mase metle. Za ovaj pokus potrebna vam je samo jedna metla i dvije ruke.
S relativno udaljenim rukama, podignite metlu na kraju dva pokazivača. Zatim polako približite ruke, gurnuvši ih ispod metle. Dok približavate ruke bliže, možete primijetiti da jedna ruka želi kliziti duž donje strane drške metle, dok druga neko vrijeme ostaje na mjestu prije klizanja.
Sve vrijeme dok se vaše ruke pomiču, metla ostaje uravnotežena. Na kraju, kad se vaše dvije ruke sretnu, sastat će se na mjestu središta mase metle.
Centar za misu ljudskog tijela
Središte mase ljudskog tijela nalazi se negdje u blizini pupka (pupka). U muškaraca je središte mase obično malo veće jer nose više tjelesne mase u gornjem dijelu tijela, a u žena je središte mase niže jer nose više mase u bokovima.
Ako stojite na jednoj nozi, vaše će se središte mase pomaknuti prema bočnoj strani stopala na kojoj stojite. Možda ćete primijetiti da se više naginjete toj strani. To je zato što da biste ostali uravnoteženi, vaše središte mase mora ostati preko stopala na kojem balansirate, inače ćete se prevrnuti.
Ako stojite jednom nogom i kukom uza zid i pokušate podići drugu nogu, vjerojatno ćete to smatrati nemogućim jer zid sprječava prebacivanje vaše težine preko noge za ravnotežu.
Još nešto što biste trebali isprobati je stajanje leđima okrenute prema zidu, a pete dodiruju zid. Zatim se pokušajte saviti prema naprijed i dodirnuti pod bez savijanja nogu. Žene bi mogle biti uspješnije u ovom zadatku od muškaraca, jer im je centar mase niže u tijelu i na kraju mogu biti i dalje preko nožnih prstiju dok se naginju naprijed.
Centar za masu i stabilnost
Položaj središta mase u odnosu na bazu objekta određuje njegovu stabilnost. Nešto se smatra stabilno uravnoteženim ako se, lagano nagnuvši i pustivši, vrati natrag u prvobitni položaj umjesto da se dalje prevrne i padne.
Razmotrimo trodimenzionalni oblik piramide. Ako je uravnotežen na svojoj osnovi, stabilan je. Ako lagano podignete jedan kraj i pustite ga da padne, vratit će se prema dolje. Ali ako pokušate uravnotežiti piramidu na njenom vrhu, tada će odstupanja od savršene ravnoteže pasti.
Možete utvrditi hoće li se objekt vratiti u prvobitni položaj ili će se prevrnuti gledajući položaj središta mase u odnosu na bazu. Jednom kad se središte mase pomakne ispod baze, objekt će se prevrnuti.
Ako se bavite sportom, možda vam je poznat položaj spremnosti kada stojite širokog stava i savijenih koljena. To održava vaše središte mase niskim, a široka baza čini vas stabilnijima. Razmislite koliko bi vas teško netko morao gurnuti da vas prevrne ako ste u spremnom položaju vs. kad stojite uspravno sklopljenih stopala.
Neki automobili imaju problema s prevrtanjem kad se okreću oštro. To je zbog mjesta njihovog središta mase. Ako je središte mase vozila previsoko, a osnova nije dovoljno široka, tada ne treba puno da se prevrne. Za stabilnost vozila uvijek je najbolje da veći dio težine bude što niži.
