Kako riješiti jednadžbu kvadratnog korijena

Kvadratni korijen broja vrijednost je koja, kada se pomnoži, daje izvorni broj. Na primjer, kvadratni korijen 0 je 0, kvadratni korijen 100 je 10, a kvadratni korijen 50 je 7.071. Ponekad možete shvatiti ili se jednostavno prisjetiti kvadratnog korijena broja koji je sam po sebi "savršeni kvadrat", koji je umnožak cijelog broja samoga sebe; kako budete napredovali kroz svoje studije, vjerojatno ćete razviti mentalni popis ovih brojeva (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Problemi koji uključuju kvadratne korijene nezamjenjivi su u inženjerstvu, računanju i gotovo svim područjima modernog svijeta. Iako možete lako pronaći kalkulatore jednadžbi kvadratnih korijena na mreži (primjer pogledajte Resursi), rješavanje jednadžbi kvadratnih korijena važno je vještina u algebri, jer vam omogućuje da se upoznate s korištenjem radikala i radite s brojnim vrstama problema izvan područja kvadratnih korijena po sebi.

Činjenica da množenje dva negativna broja zajedno daje pozitivan broj važna je u svijetu kvadratnih korijena jer to implicira da pozitivni brojevi zapravo imaju dva kvadratna korijena (na primjer, kvadratni korijeni 16 su 4 i −4, čak i ako je samo prvi intuitivan). Slično tome, negativni brojevi nemaju stvarne kvadratne korijene, jer ne postoji stvarni broj koji poprimi negativnu vrijednost kad se pomnoži sa sobom. U ovoj će se prezentaciji zanemariti negativni kvadratni korijen pozitivnog broja, tako da se "kvadratni korijen od 361" može uzeti kao "19", a ne "−19 i 19."

Također, kada pokušavate procijeniti vrijednost kvadratnog korijena kad nijedan kalkulator nije pri ruci, važno je shvatiti da funkcije koje uključuju kvadrate i kvadratne korijene nisu linearne. O tome ćete više vidjeti u odjeljku o grafikonima kasnije, ali kao grubi primjer već ste primijetili da je kvadratni korijen 100 10, a kvadratni 0 0. Na pogled, ovo bi vas moglo navesti da pretpostavite da kvadratni korijen za 50 (što je na pola između 0 i 100) mora biti 5 (što je na pola između 0 i 10). Ali također ste već naučili da je kvadratni korijen 50 7.071.

Konačno, možda ste internalizirali ideju da množenjem dva broja zajedno nastaje broj veći od sebe, implicirajući da su kvadratni korijeni brojeva uvijek manji od izvornika broj. Ovo nije slučaj! Brojevi između 0 i 1 također imaju kvadratne korijene i u svakom je slučaju kvadratni korijen veći od izvornog broja. To se najlakše pokazuje pomoću razlomaka. Na primjer, 16/25 ili 0,64 ima savršeni kvadrat i u brojniku i u nazivniku. To znači da je kvadratni korijen razlomka kvadratni korijen njegovih gornjih i donjih komponenata, što je 4/5. To je jednako 0,80, veći broj od 0,64.

"Kvadratni korijen izx"obično se piše pomoću onoga što se naziva radikalni znak ili samo radikal (√). Tako za bilo kojix​:

predstavlja njegov kvadratni korijen. Preokrećući ovo, kvadrat brojaxzapisuje se pomoću eksponenta 2 (x​²). Eksponenti uzimaju natpise za obradu teksta i srodne programe, a nazivaju se i moćima. Budući da radikalne znakove nije uvijek lako proizvesti na zahtjev, drugi je način pisanja "kvadratnog korijena izx"je koristiti eksponent:

Ovo je pak dio opće sheme:

znači "podićixna snagug, onda uzmi 'z'korijen toga. "x​^1/2 tako znači "povisitixdo prve moći, što je jednostavnoxopet, a zatim uzmite njegov 2 korijen ili kvadratni korijen. "Proširujući ovo,x​^(5/3) znači "podićixdo stepena 5, a zatim pronađite treći korijen (ili kockasti korijen) rezultata. "

Radikali se mogu koristiti za predstavljanje korijena koji nisu 2, kvadratni korijen. To se postiže jednostavnim dodavanjem natpisa u gornji lijevi kraj radikala.

tada predstavlja isti broj kaox​^(5/3) iz prethodnog stavka čini.

Većina kvadratnih korijena su iracionalni brojevi. To znači da ne samo da nisu lijepe, uredne cijele brojke (npr. 1, 2, 3, 4.. .), ali se također ne mogu izraziti kao uredan decimalni broj koji završava bez potrebe za zaokruživanjem. Racionalni broj može se izraziti razlomkom. Dakle, iako 2,75 nije cijeli broj, on je racionalan broj jer je ista stvar kao razlomak 11/4. Ranije su vam rekli da je kvadratni korijen 50 7,071, ali to je zapravo zaokruženo s beskonačnog broja decimalnih mjesta. Točna vrijednost √50 je 5√2 i vidjet ćete kako će se to uskoro utvrditi.

Već ste vidjeli da su jednadžbe u uključivanju kvadrata i kvadratnih korijena nelinearne. Jednostavan način da se to zapamtimo je da grafovi rješenja tih jednadžbi nisu crte. To ima smisla, jer ako je, kao što je napomenuto, kvadrat 0 0, a kvadrat 10 100, ali kvadrat od 5 nije 50, grafikon koji proizlazi iz jednostavnog kvadriranja broja mora zakriviti put do ispravnog vrijednosti.

To je slučaj s grafom

kao što i sami možete vidjeti posjetom kalkulatora u Resursima i promjenom parametara. Pravac prolazi kroz točku (0,0), a y ne ide ispod 0, što biste trebali očekivati ​​jer to znatex​² nikada nije negativan. Također možete vidjeti da je graf simetričan okog-os, što također ima smisla jer je svaki pozitivni kvadratni korijen određenog broja popraćen negativnim kvadratnim korijenom jednake veličine. Stoga, s izuzetkom 0, svakigvrijednost na grafikonug​ = ​x​² je povezan s dvojex-vrijednosti.

Jedan od načina rješavanja osnovnih problema s kvadratnim korijenima je traženje savršenih kvadrata "skrivenih" unutar problema. Prvo, važno je znati nekoliko vitalnih svojstava kvadrata i kvadratnih korijena. Jedno od njih je to, baš kao i √x​² je jednostavno jednakox(jer se radikal i eksponent međusobno poništavaju):

Odnosno, ako imate savršen kvadrat pod radikalom množeći drugi broj, možete ga "izvući" i koristiti kao koeficijent onoga što ostaje. Na primjer, povratak na kvadratni korijen od 50

Ponekad možete završiti brojem koji uključuje kvadratne korijene i koji se izražava kao razlomak, ali je i dalje iracionalan broj jer nazivnik, brojnik ili oboje sadrže radikal. U takvim slučajevima može se zatražiti da racionalizirate nazivnik. Na primjer, broj

ima radikal i u brojniku i u nazivniku. Ali nakon što proučite "45", možda ćete ga prepoznati kao proizvod 9 i 5, što znači da

Stoga se razlomak može zapisati

Radikali se međusobno poništavaju, a vi ostajete sa 6/3 = 2.