Sustavi jednadžbi mogu pomoći u rješavanju stvarnih pitanja u svim poljima, od kemije do poslovanja do sporta. Njihovo rješavanje nije važno samo za ocjene iz matematike; može vam uštedjeti puno vremena bez obzira pokušavate li postaviti ciljeve za svoju tvrtku ili sportski tim.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Da biste riješili sustav jednadžbi grafičkim prikazom, nacrtajte svaku liniju na istoj koordinatnoj ravnini i pogledajte gdje se sijeku.
Primjene u stvarnom svijetu
Na primjer, zamislite da vi i vaš prijatelj postavljate postolje za limunadu. Odlučite se podijeliti i osvojiti, pa vaš prijatelj odlazi na susjedsko košarkaško igralište dok vi ostajete na uglu svoje obitelji. Na kraju dana udružujete novac. Zajedno ste zaradili 200 dolara, ali vaš je prijatelj zaradio 50 dolara više od vas. Koliko je novca zaradio svaki od vas?
Ili razmislite o košarci: Udarci izvedeni izvan crte od 3 boda vrijede 3 boda, koševi napravljeni unutar crte od 3 boda vrijede 2 boda, a slobodna bacanja vrijede samo 1 bod. Vaš protivnik je ispred vas 19 bodova. Koje biste kombinacije košara mogli napraviti kako biste ih sustigli?
Riješite sustave jednadžbi grafičkim prikazom
Grafički prikaz je jedan od najjednostavnijih načina rješavanja sustava jednadžbi. Sve što trebate je grafički prikazati obje linije na istoj koordinatnoj ravnini, a zatim vidjeti gdje se sijeku.
Prvo, morate napisati riječ problem kao sustav jednadžbi. Dodijelite varijable nepoznanicama. Nazovite novac koji zaraditeY, i novac koji zaradi vaš prijateljF.
Sada imate dvije vrste podataka: informacije o tome koliko ste novca zajedno zaradili i informacije o tome kako ste zaradili u usporedbi s novcem koji je zaradio vaš prijatelj. Svaka od njih postat će jednadžba.
Za prvu jednadžbu napišite:
Y + F = 200
budući da vaš novac plus novac vašeg prijatelja iznosi do 200 USD.
Zatim napišite jednadžbu koja će opisati usporedbu vaše zarade.
Y = F - 50
jer je iznos koji ste zaradili jednak 50 dolara manje od onoga što je zaradio vaš prijatelj. Ovu jednadžbu možete napisati i kaoY + 50 = F, jer ono što ste zaradili plus 50 dolara jednako je onome što je zaradio vaš prijatelj. To su različiti načini pisanja iste stvari i neće promijeniti vaš konačni odgovor.
Dakle, sustav jednadžbi izgleda ovako:
Y + F = 200 \\ Y = F - 50
Dalje, morate grafički prikazati obje jednadžbe na istoj koordinatnoj ravnini. Grafikujte svoj iznos,Y, nag-os i iznos vašeg prijatelja,F, nax-os (zapravo nije bitno koji je koji sve pod uvjetom da ste ih ispravno označili). Možete koristiti milimetarski papir i olovku, ručni kalkulator za grafiku ili internetski kalkulator za grafikone.
Trenutno je jedna jednadžba u standardnom obliku, a jedna u obliku presjeka nagiba. To nije problem, nužno, ali radi dosljednosti, prevedite obje jednadžbe u oblik presjeka nagiba.
Dakle, za prvu jednadžbu pretvorite iz standardnog oblika u oblik presijecanja kosine. To znači riješiti zaY; drugim riječima, uzmiYsama po sebi na lijevoj strani znaka jednakosti. Pa oduzmiFs obje strane:
Y + F = 200 \\ Y = -F + 200
Imajte na umu da je u obliku presjeka nagiba broj ispred F nagib, a konstanta y presjek.
Da grafički prikažemo prvu jednadžbu,Y = −F+ 200, nacrtajte točku na (0, 200), a zatim pomoću nagiba pronađite više točaka. Nagib je -1, pa se spustite za jednu jedinicu pa preko jedne jedinice i nacrtajte točku. To stvara točku na (1, 199), a ako ponovite postupak počevši od te točke, dobit ćete drugu točku na (2, 198). To su sitni pokreti na velikoj liniji, pa nacrtajte još jednu točku nax-prekidite kako biste bili sigurni da ste dugoročno lijepo nacrtali stvari. AkoY= 0, ondaFbit će 200, pa nacrtajte točku na (200, 0).
Da grafički prikažemo drugu jednadžbu,Y = F- 50, upotrijebite presjek y za -50 da nacrtate prvu točku na (0, -50). Budući da je nagib 1, započnite s (0, −50), a zatim se pomaknite za jednu jedinicu i preko jedne jedinice. To vas stavlja na (1, −49). Ponovite postupak počevši od (1, −49) i dobit ćete treću točku na (2, −48). Opet, kako biste bili sigurni da radite stvari uredno na velikim udaljenostima, dvaput se provjerite crtajući ix-presretnuti. KadaY = 0, Fbit će 50, pa također izvucite točku na (50, 0). Nacrtajte urednu crtu koja povezuje ove točke.
Pažljivo pogledajte svoj grafikon da biste vidjeli gdje se dvije crte sijeku. To će biti rješenje, jer je rješenje sustava jednadžbi točka (ili točke) koje obje jednadžbe čine istinitima. Na grafikonu će ovo izgledati kao točka (ili točke) gdje se dvije crte sijeku.
U ovom se slučaju dvije crte sijeku u (125, 75). Dakle, rješenje je da vaš prijatelj (x-coordinate) zaradio 125 dolara, a vi (g-coordinate) zaradio 75 dolara.
Brza provjera logike: Ima li ovo smisla? Dvije vrijednosti zajedno daju 200, a 125 je 50 više od 75. Zvuči dobro.
Jedno rješenje, beskonačna rješenja ili nikakva rješenja
U ovom je slučaju postojala točno jedna točka gdje su se dvije crte prekrižile. Kada radite sa sustavima jednadžbi, moguća su tri ishoda, a svaki će na grafikonu izgledati drugačije.
- Ako sustav ima jedno rješenje, linije će se križati u jednoj točki, kao što je to učinjeno u primjeru.
- Ako sustav nema rješenja, crte se nikada neće prijeći. Oni će biti paralelni, što u algebarskom smislu znači da će imati isti nagib.
- Sustav također može imati beskonačna rješenja, što znači da su vaše "dvije" crte zapravo ista linija. Tako će im biti zajedničke sve pojedine točke, što je beskonačan broj rješenja.