Svi studenti matematike i mnogi studenti prirodoslovlja u određenoj se fazi studija susreću s polinomima, ali srećom s njima je lako izaći na kraj kad naučite osnove. Glavne operacije koje ćete trebati obaviti s polinomnim izrazima su zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje, i iako dijeljenje može biti složeno, većinu vremena moći ćete se nositi s osnovama olakšati.
Polinomi: Definicija i primjeri
Polinom opisuje algebarski izraz s jednim ili više izraza koji uključuju varijablu (ili više njih), s eksponentima i eventualno konstantama. Ne mogu uključivati podjelu s varijablom, ne mogu imati negativne ili razlomljene eksponente i moraju imati konačan broj članaka.
Ovaj primjer prikazuje polinom:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
A ovo pokazuje još jedan:
xy ^ 2 - 3 x + y
Postoji mnogo načina klasificiranja polinoma, uključujući i stupanj (zbroj eksponenata na članu najviše snage, npr. 3 u prvi primjer) i brojem pojmova koje sadrže, poput monoma (jedan pojam), binoma (dva člana) i trinoma (tri Pojmovi).
Zbrajanje i oduzimanje polinoma
Zbrajanje i oduzimanje polinoma ovisi o kombiniranju pojma "sviđa mi se". Slični izraz je onaj s istim varijablama i eksponentima kao i drugi, ali broj s kojim se množe (koeficijent) može biti različit. Na primjer,x2 i 4x 2 su poput pojmova jer imaju istu varijablu i eksponent, i 2xy 4 i 6xy 4 su poput pojmova. Međutim,x2, x3, x2g2 ig2 nisu poput pojmova, jer svaki sadrži različite kombinacije varijabli i eksponenata.
Dodajte polinome kombinirajući slične pojmove na isti način kao što biste to učinili s ostalim algebarskim pojmovima. Na primjer, pogledajte problem:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Prikupite slične pojmove da biste dobili:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
A zatim procijenite jednostavnim zbrajanjem koeficijenata i kombiniranjem u jedan pojam:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Imajte na umu da ne možete učiniti ništagjer nema sličan pojam.
Oduzimanje djeluje na isti način:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Prvo imajte na umu da se svi pojmovi u desnoj zagradi oduzimaju od pojmova u lijevoj zagradi, pa ga napišite kao:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Kombinirajte slične pojmove i procijenite da biste dobili:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Za ovakav problem:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Imajte na umu da se znak minus primjenjuje na cijeli izraz u desnoj zagradi, pa su dva negativna znaka prije 3x2 postati znak dodavanja:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Zatim izračunajte kao prije.
Množenje polinomskih izraza
Množimo polinomske izraze pomoću distributivnog svojstva množenja. Ukratko, pomnožite svaki pojam u prvom polinomu sa svakim članom u drugom. Pogledajte ovaj jednostavan primjer:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
To rješavate pomoću distributivnog svojstva, pa:
\ početak {poravnato} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ kraj {poravnato}
Riješite se složenijih problema na isti način:
\ početak {poravnato} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ kraj {poravnato}
Ti se problemi mogu zakomplicirati za veće grupe, ali osnovni postupak je i dalje isti.
Dijeljenje polinomskih izraza
Dijeljenje polinomskih izraza traje dulje, ali s tim se možete rješavati u koracima. Pogledajte izraz:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Prvo napišite izraz poput duge podjele, s djeliteljem lijevo i dividendom zdesna:
x + 2) \ prekoračenje {x ^ 2 - 3 x - 10}
Podijelite prvi član u dividendi s prvim članom u djelitelju, a rezultat stavite na crtu iznad dijeljenja. U ovom slučaju,x2 ÷ x = x, dakle:
\ početak {poravnato} & x \\ x + 2) & \ prevlačenje {x ^ 2 - 3 x - 10} \ kraj {poravnato}
Pomnožite ovaj rezultat s cijelim djeliteljem, pa u ovom slučaju, (x + 2) × x = x2 + 2 x. Stavite ovaj rezultat ispod podjele:
\ početak {poravnato} & x \\ x + 2) & \ prevlačenje {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ kraj {poravnato}
Oduzmite rezultat na novom retku od pojmova koji se nalaze neposredno iznad njega (imajte na umu da tehnički mijenjate znak, pa biste ga dodali ako biste imali negativan rezultat) i stavili ga na redak ispod njega. Pomaknite i konačni pojam s izvorne dividende prema dolje.
\ početak {poravnato} & x \\ x + 2) & \ prevlačenje {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ kraj {poravnato}
Sada ponovite postupak s djeliteljem i novim polinomom na dnu crte. Dakle, podijelite prvi član djelitelja (x) prvim članom dividende (−5x) i stavite ovo gore:
\ početak {poravnato} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ kraj {poravnato}
Pomnožite ovaj rezultat (−5x ÷ x= −5) izvornim djeliteljem (dakle (x + 2) × −5 = −5 x−10) i rezultat stavite u novi donji redak:
\ početak {poravnato} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ kraj {poravnato}
Zatim oduzmite donji redak od sljedećeg prema gore (pa u ovom slučaju promijenite znak i dodajte), a rezultat stavite na novi donji redak:
\ početak {poravnato} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {poravnato}
Budući da je na dnu sada niz nula, postupak je završen. Da su preostali pojmovi koji nisu nula, ponovite postupak opet. Rezultat je na vrhu, pa:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Ova se podjela i neke druge mogu jednostavnije riješiti ako možete faktor polinom u dividendi.