Učenje bavljenja eksponentima sastavni je dio svakog matematičkog obrazovanja, ali na sreću pravila za njihovo množenje i dijeljenje podudaraju se s pravilima za nerazlomljene eksponente. Prvi korak ka razumijevanju kako postupati s razlomljenim eksponentima je dobivanje detaljnog opisa onoga što oni zapravo jesu, a zatim možete pogledati načine na koje možete kombinirati eksponente kada se množe ili dijele i imaju iste baza. Ukratko, zbrajate eksponente kada množite i oduzimate jedan od drugog pri dijeljenju, pod uvjetom da imaju istu bazu.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Pomnožite pojmove s eksponentima koristeći opće pravilo:
xa + xb = x(a + b)
I podijelite pojmove s eksponentima koristeći pravilo:
xa ÷ xb = x(a – b)
Ova pravila rade sa bilo kojim izrazom umjestoaib, čak i razlomci.
Što su frakcijski eksponenti?
Djelomični eksponenti pružaju kompaktan i koristan način izražavanja kvadrata, kocke i viših korijena. Nazivnik na eksponentu govori vam koji korijen "osnovnog" broja predstavlja pojam. U pojmu poput
xa, zovetexbaza iaeksponent. Znači frakcijski eksponent vam kaže:x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
Imenitelj dva na eksponentu govori vam da uzimate kvadratni korijen izxu ovom izrazu. Isto osnovno pravilo vrijedi i za više korijene:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
I
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Ovaj se obrazac nastavlja. Za konkretan primjer:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
I
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Pravila razlomaka razlomaka: Množenje razlomljenih eksponenata istom bazom
Množite pojmove s razlomljenim eksponentima (pod uvjetom da imaju istu bazu) zbrajanjem eksponenata. Na primjer:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
Odx1/3 znači "kockin korijen odx, "Sasvim je logično da ovo pomnoženo samo sa sobom dva puta daje rezultatx. Također možete naići na primjere poputx1/3 × x1/3, ali s njima se bavite na potpuno isti način:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
Činjenica da je izraz na kraju i dalje frakcijski eksponent ne mijenja postupak. To se može pojednostaviti ako to primijetitex2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. S ovakvim izrazom nije važno uzimate li prvo korijen ili moć. Ovaj primjer ilustrira kako izračunati sljedeće:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Budući da je kockasti korijen iz 8 lako razraditi, riješite ovo na sljedeći način:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
Dakle, ovo znači:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
U nazivnicima razlomaka možete se susresti i s proizvodima razlomljenih eksponenata s različitim brojevima, a te eksponente možete dodati na isti način na koji biste dodali i druge razlomke. Na primjer:
\ početak {poravnato} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ kraj {poravnato}
Sve su to specifični izrazi općeg pravila za množenje dvaju izraza s eksponentima:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Pravila razlomaka razlomaka: Dijeljenje razlomljenih eksponenata istom osnovom
Riješite se dijeljenja dva broja s razlomljenim eksponentima oduzimanjem eksponenta koji dijelite (djelitelj) onim koji dijelite (dividenda). Na primjer:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
To ima smisla, jer bilo koji broj podijeljen sam po sebi jednak je jednom, a to se slaže sa standardnim rezultatom da je bilo koji broj podignut na stepen 0 jednak jednom. Sljedeći primjer koristi brojeve kao osnove i različite eksponente:
\ početak {poravnato} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ kraj {poravnato}
Što možete vidjeti i ako primijetite da 161/2 = 4 i 161/4 = 2.
Kao i kod množenja, možda ćete i na kraju dobiti razlomljene eksponente koji imaju broj koji nije jedan u brojniku, ali s njima se bavite na isti način.
Oni jednostavno izražavaju opće pravilo za dijeljenje eksponenata:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
Množenje i dijeljenje frakcijskih eksponenata u različitim bazama
Ako su osnovi pojmova različite, ne postoji jednostavan način množenja ili dijeljenja eksponenata. U tim slučajevima jednostavno izračunajte vrijednost pojedinih pojmova i zatim izvedite potrebnu operaciju. Jedina je iznimka ako je eksponent isti, u tom ih slučaju možete množiti ili dijeliti na sljedeći način:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4