Kad započnete s tri jednadžbe i tri nepoznanice (varijable), možda mislite da imate dovoljno podataka za rješavanje svih varijabli. Međutim, kada rješavate sustav linearnih jednadžbi metodom eliminacije, možda ćete primijetiti da sustav nije dovoljno odlučan za pronalaženje jednog jedinstvenog odgovora, već je beskonačan broj rješenja moguće. To se događa kada su podaci u jednoj jednadžbi u sustavu suvišni informacijama sadržanim u ostalim jednadžbama.
Primjer 2x2
3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Ovaj sustav jednadžbi očito je suvišan. Možete stvoriti jednu jednadžbu od druge samo množenjem kroz konstantu. Drugim riječima, oni prenose iste informacije. Iako postoje dvije jednadžbe za dvije nepoznanice, x i y, rješenje ovog sustava ne može se suziti na jednu vrijednost za x i jednu vrijednost za y. (x, y) = (1,1) i (5 / 3,0) to rješavaju, kao i mnoga druga rješenja. To je vrsta "problema", ove nedostatnosti informacija, koja dovodi do beskonačnog broja rješenja i u većim sustavima jednadžbi.
Primjer 3x3
x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Podvlake se koriste samo za održavanje razmaka.] Metodom eliminacije eliminirajte x iz drugog retka oduzimanjem drugog reda od prvog, dajući x + y + z = 10 _2g= 10 x_ +z = 5 Eliminirajte x iz trećeg retka oduzimajući treći red od prvog. x + y + z = 10 _2g=10 g= 5 Jasno je da su posljednje dvije jednadžbe ekvivalentne. y jednako 5, a prva jednadžba može se pojednostaviti uklanjanjem y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 ili x + z = 5 y = 5 Imajte na umu da metoda eliminacije ovdje neće dati lijep trokutasti oblik, kao što je to slučaj kada postoji jedno jedinstveno rješenje. Umjesto toga, zadnja jednadžba (ako ne i više) sama će se apsorbirati u ostale jednadžbe. Sustav je sada sastavljen od tri nepoznanice i samo dvije jednadžbe. Sustav se naziva "nedovoljno određen", jer nema dovoljno jednadžbi za određivanje vrijednosti svih varijabli. Moguć je beskonačan broj rješenja.
Kako napisati beskonačno rješenje
Beskonačno rješenje za gornji sustav može se zapisati u terminima jedne varijable. Jedan od načina pisanja je (x, y, z) = (x, 5,5-x). Budući da x može poprimiti beskonačan broj vrijednosti, rješenje može poprimiti beskonačan broj vrijednosti.