Kako riješiti kubne jednadžbe

Rješavanje polinomskih funkcija ključna je vještina za svakoga tko studira matematiku ili fiziku, ali upoznavanje s postupkom - posebno kada je riječ o funkcijama višeg reda - može biti prilično izazovno. Kubična funkcija jedna je od najizazovnijih vrsta polinomnih jednadžbi koju ćete možda morati riješiti ručno. Iako to možda neće biti tako jednostavno kao rješavanje kvadratne jednadžbe, postoji nekoliko metoda možete koristiti za pronalaženje rješenja za kubnu jednadžbu bez pribjegavanja detaljnim stranicama i stranicama algebra.

Kubična funkcija je polinom trećeg stupnja. Opća polinomska funkcija ima oblik:

Ovdje, x je varijabla, n je jednostavno bilo koji broj (i stupanj polinoma), k je konstanta, a ostala slova su konstantni koeficijenti za svaku snagu od x. Dakle, kubična funkcija ima n = 3, i jednostavno je:

Gdje u ovom slučaju, d je konstanta. Općenito govoreći, kada morate riješiti kubnu jednadžbu, prikazat će vam se u obliku:

Svako rješenje za x naziva se "korijenom" jednadžbe. Kubične jednadžbe imaju jedan stvarni korijen ili tri, iako se mogu ponoviti, ali uvijek postoji barem jedno rješenje.

Vrsta jednadžbe definirana je najvećom snagom, pa u gornjem primjeru to ne bi bila kubna jednadžba a = 0, jer bi najjači pojam bio bx² i to bi bila kvadratna jednadžba. To znači da su slijedeće sve kubične jednadžbe:

Najlakši način za rješavanje kubne jednadžbe uključuje malo nagađanja i algoritamski tip procesa koji se naziva sintetska podjela. Početak je, međutim, u osnovi isti kao metoda pokušaja i pogrešaka za rješenja kubnih jednadžbi. Pokušajte pogoditi što je jedan od korijena. Ako imate jednadžbu gdje je prvi koeficijent, a, jednako je 1, tada je malo lakše pogoditi jedan od korijena, jer su oni uvijek čimbenici konstantnog pojma koji je gore predstavljen s d.

Dakle, gledajući na primjer sljedeću jednadžbu:

Morate pogoditi jednu od vrijednosti za x, ali budući da a = 1 u ovom slučaju znate da, bez obzira na vrijednost, mora biti faktor 24. Prvi takav faktor je 1, ali ovo bi ostavilo:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Što nije nula, a −1 bi ostalo:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Što opet nije nula. Sljedeći, x = 2 dalo bi:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Još jedan neuspjeh. Težak x = −2 daje:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

To znači x = -2 je korijen kubne jednadžbe. To pokazuje prednosti i nedostatke metode pokušaja i pogrešaka: Odgovor možete dobiti bez puno misao, ali je dugotrajna (pogotovo ako morate prijeći na više čimbenike prije nego što nađete korijen). Srećom, kad pronađete jedan korijen, ostatak jednadžbe možete riješiti lako.

Ključ je uključivanja faktor teorema. Ovo navodi da ako x = s je rješenje, tada (x – s) je faktor koji se može izvući iz jednadžbe. U ovoj situaciji, s = -2, i tako (x + 2) je faktor koji možemo povući da bismo ga napustili:

Pojmovi u drugoj skupini zagrada imaju oblik kvadratne jednadžbe, pa ako pronađete odgovarajuće vrijednosti za a i b, jednadžba se može riješiti.

To se može postići sintetičkim dijeljenjem. Prvo zapišite koeficijente izvorne jednadžbe u gornji red tablice s razdjelnicom i zatim poznat korijen s desne strane:

Ostavite jedan rezervni red, a zatim dodajte vodoravnu crtu ispod njega. Prvo odnesite prvi broj (1 u ovom slučaju) do reda ispod vaše vodoravne crte

Sada pomnožite broj koji ste upravo srušili poznatim korijenom. U ovom slučaju, 1 × -2 = -2, a to je zapisano ispod sljedećeg broja na popisu, kako slijedi:

Zatim dodajte brojeve u drugi stupac i stavite rezultat ispod vodoravne crte:

Sada ponovite postupak koji ste upravo prošli s novim brojem ispod vodoravne crte: Pomnožite s root, stavite odgovor u prazno mjesto u sljedećem stupcu, a zatim dodajte stupac da biste dobili novi broj na donji red. Ovo ostavlja:

A zatim posljednji put prođite kroz postupak.

Činjenica da je posljednji odgovor nula govori vam da ste dobili valjani korijen, pa ako ovo nije nula, negdje ste pogriješili.

Sada vam donji red govori o čimbenicima triju pojmova u drugom skupu zagrada, tako da možete napisati:

I tako:

Ovo je najvažnija faza rješenja, a od ove točke nadalje možete završiti na mnogo načina.

Nakon što uklonite neki faktor, rješenje možete pronaći pomoću faktoriziranja. Iz gornjeg koraka ovo je u osnovi isti problem kao i faktoriranje kvadratne jednadžbe, što u nekim slučajevima može biti izazovno. Međutim, za izraz:

Ako se sjetite da dva broja koja stavljate u zagrade trebate dodati da biste dobili drugi koeficijent (7) i pomnožili da biste dobili treći (12), prilično je lako vidjeti da je u ovom slučaju:

Možete to pomnožiti da provjerite, ako želite. Nemojte se obeshrabriti ako ne možete odmah vidjeti faktorizaciju; treba malo vježbe. To ostavlja izvornu jednadžbu kao:

Na čemu odmah možete vidjeti rješenja x = −2, 3 i 4 (svi su faktori 24, izvorna konstanta). U teoriji bi također moglo biti moguće vidjeti cijelu faktorizaciju polazeći od izvorne verzije jednadžbe, ali ovo je mnogo izazovnije, pa je bolje pronaći jedno rješenje iz pokušaja i pogrešaka i koristiti gornji pristup prije nego što pokušate uočiti a faktorizacija.

Ako se mučite s faktorizacijom, možete upotrijebiti formulu kvadratne jednadžbe:

Da biste pronašli preostala rješenja.

Iako je puno veći i manje je jednostavan za rješavanje, postoji jednostavan rješivač kubnih jednadžbi u obliku kubne formule. To je poput formule kvadratne jednadžbe u kojoj samo unosite svoje vrijednosti a, b, c i d dobiti rješenje, ali je samo puno duže.

Navodi da:

gdje

i

Korištenje ove formule dugotrajno je, ali ako ne želite koristiti metodu pokušaja i pogrešaka za rješenja kubnih jednadžbi, a zatim kvadratnu formulu, to funkcionira kad sve to prođete.