Slovo E može imati dva različita značenja u matematici, ovisno o tome je li veliko E ili malo e. Kapital E obično vidite na kalkulatoru, gdje znači povećati broj koji dolazi nakon njega na stepen 10. Na primjer, 1E6 bi značio 1 × 106, ili 1 milijun. Uobičajeno je da je upotreba E rezervirana za brojeve koji bi bili predugi za prikaz na zaslonu kalkulatora ako bi se ispisali iz ruku.
Matematičari koriste malo e u mnogo zanimljiviju svrhu - za označavanje Eulerovog broja. Ovaj je broj, poput π, iracionalan broj, jer ima decimalu koja se ne ponavlja i proteže se u beskonačnost. Poput iracionalne osobe, čini se da iracionalni broj nema smisla, ali broj koji označava e ne mora imati smisla da bi bio koristan. Zapravo je to jedan od najkorisnijih brojeva u matematici.
E u znanstvenom zapisu i značenje 1E6
Nije vam potreban kalkulator da biste pomoću E izrazili broj u znanstvenom zapisu. Jednostavno možete pustiti E da stoji za osnovni korijen eksponenta, ali samo kada je baza 10. Ne biste koristili E da stoji za bazu 8, 4 ili bilo koju drugu bazu, pogotovo ako je baza Eulerov broj, e.
Kada na ovaj način koristite E, napišete brojxEg, gdjexje prvi skup cijelih brojeva u broju igje eksponent. Na primjer, broj 1 milijun zapisali biste kao 1E6. U redovitim znanstvenim zapisima, ovo je 1 × 106, ili 1 nakon čega slijedi 6 nula. Slično tome, 5 milijuna bilo bi 5E6, a 42.732 bilo bi 4,27E4. Kada zapisujete broj u znanstvene zapise, bez obzira koristite li E ili ne, obično zaokružujete na dvije decimale.
Odakle dolazi Eulerov broj, e?
Broj koji predstavlja e otkrio je matematičar Leonard Euler kao rješenje problema kojeg je 50 godina ranije postavio drugi matematičar, Jacob Bernoulli. Bernoullijev problem bio je financijski.
Pretpostavimo da stavite 1000 dolara u banku koja plaća 100% godišnje složene kamate i tamo je ostavite godinu dana. Imat ćete 2000 dolara. Pretpostavimo sada da je kamatna stopa upola manja, ali da je banka plaća dva puta godišnje. Na kraju godine imali biste 2250 dolara. Pretpostavimo sada da je banka plaćala samo 8,33%, što je 1/12 od 100%, ali je to plaćala 12 puta godišnje. Na kraju godine imali biste 2613 dolara. Opća jednadžba za ovaj napredak je:
\ bigg (1 + \ frac {r} {n} \ bigg) ^ n
gdjerje 1 i n je rok plaćanja.
Ispada da se, kako se n približava beskonačnosti, rezultat sve više približava e, što je 2,7182818284 do 10 decimalnih mjesta. Ovako je to otkrio Euler. Maksimalni povrat koji biste mogli dobiti od ulaganja od 1.000 USD u jednoj godini bio bi 2.718 USD.
Eulerov broj u prirodi
Eksponenti s osnovom e poznati su kao prirodni eksponenti, i evo razloga. Ako ucrtate grafikon
y = e ^ x
dobit ćete krivulju koja se eksponencijalno povećava, baš kao i kad biste krivulju nacrtali s bazom 10 ili bilo kojim drugim brojem. Međutim, krivuljag= exima dva posebna svojstva. Za bilo koju vrijednostx, vrijednostgjednaka je vrijednosti nagiba grafikona u toj točki, a također je jednaka površini ispod krivulje do te točke. To čini posebno važan broj u računu i u svim područjima znanosti koja koriste račun.
Logaritamska spirala, koja je predstavljena jednadžbom
r = ae ^ {bθ}
nalazi se u cijeloj prirodi, u školjkama, fosilima i i cvijeću. Štoviše, e se pojavljuje u brojnim znanstvenim kontekstima, uključujući studije električnih krugova, zakone grijanja i hlađenja i prigušivanje opruga. Iako je otkriven prije 350 godina, znanstvenici i dalje pronalaze nove primjere Eulerovog broja u prirodi.