Kako izračunati kombinacije i permutacije

Pretpostavimo da imate n vrsta predmeta i želite odabrati kolekciju od njih. Možda ćemo htjeti ove stavke nekim određenim redoslijedom. Te skupove stavki nazivamo permutacijama. Ako redoslijed nije važan, skup zbirki nazivamo kombinacijama. I za kombinacije i za permutacije možete uzeti u obzir slučaj u kojem ste odabrali neke od n vrsta više od jednom, što se naziva „s ponavljanjem“, ili slučaj u kojem svaku vrstu odaberete samo jednom, što se naziva „ne ponavljanje'. Cilj je biti u mogućnosti izbrojiti broj kombinacija ili permutacija mogućih u datoj situaciji.

Faktorska funkcija često se koristi pri izračunavanju kombinacija i permutacija. N! znači N × (N – 1) ×... × 2 × 1. Na primjer, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Broj načina naručivanja skupa predmeta je faktor. Uzmi tri slova a, b i c. Imate tri mogućnosti za prvo slovo, dva za drugo i samo jedan za treće. Drugim riječima, ukupno 3 × 2 × 1 = 6 narudžbi. Općenito, postoji n! načini naručivanja n predmeta.

Pretpostavimo da imate tri sobe koje ćete bojiti, a svaka će biti obojana u jednu od pet boja: crvenu (r), zelenu (g), plavu (b), žutu (y) ili narančastu (o). Možete odabrati svaku boju koliko god puta želite. Na raspolaganju imate pet boja za prvu sobu, pet za drugu i pet za treću. To daje ukupno 5 × 5 × 5 = 125 mogućnosti. Općenito, broj načina za odabir grupe od r stavki u određenom redoslijedu od n ponovljivih izbora je n ^ r.

Sad pretpostavimo da će svaka soba biti druge boje. Možete odabrati između pet boja za prvu sobu, četiri za drugu i samo tri za treću. To daje 5 × 4 × 3 = 60, što je slučajno 5! / 2!. Općenito, broj neovisnih načina odabira r stavki određenim redoslijedom od n neponovljivih izbora iznosi n! / (N – r) !.

Dalje, zaboravite koja je soba koje boje. Samo odaberite tri neovisne boje za shemu boja. Ovdje redoslijed nije važan, pa je (crvena, zelena, plava) isto što i (crvena, plava, zelena). Za bilo koji odabir od tri boje postoje 3! načine na koje ih možete naručiti. Dakle, smanjite broj permutacija za 3! da se dobije 5! / (2! × 3!) = 10. Općenito, možete odabrati grupu r stavki u bilo kojem redoslijedu iz niza n neponovljivih izbora na n! / [(N – r)! × r!] Način.

Na kraju, morate stvoriti shemu boja u kojoj možete koristiti bilo koju boju koliko god puta želite. Pametni knjigovodstveni kod pomaže ovom zadatku brojanja. Upotrijebite tri X za predstavljanje soba. Popis boja predstavljen je 'rgbyo'. Pomiješajte X u svoj popis boja i svaki X povežite s prvom bojom s lijeve strane. Na primjer, rgXXbyXo znači da je prva soba zelena, druga zelena i treća žuta. X mora imati barem jednu boju lijevo, tako da je na raspolaganju pet utora za prvi X. Budući da popis sada uključuje X, postoji šest dostupnih utora za drugi X i sedam raspoloživih utora za treći X. Sveukupno postoji 5 × 6 × 7 = 7! / 4! načini pisanja koda. Međutim, redoslijed soba je proizvoljan, tako da zaista postoji samo 7! / (4! × 3!) Jedinstvenih aranžmana. Općenito, r stavke možete odabrati u bilo kojem redoslijedu od n ponovljivih izbora na (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!] Način.