Ovladavanje konceptima sinusa i kosinusa sastavni je dio trigonometrije. Ali kad ove ideje držite pod paskom, one postaju gradivni materijal za druge korisne alate u trigonometriji i kasnije u računanju. Na primjer, "zakon kosinusa" posebna je formula pomoću koje možete pronaći stranicu trokuta koja nedostaje ako znate duljina druge dvije stranice plus kut između njih ili za pronalaženje kutova trokuta kad znate sve tri strane.
Zakon kosinusa
Zakon kosinusa dolazi u nekoliko verzija, ovisno o tome s kojim kutovima ili stranama trokuta imate posla:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
U svakom slučaju,a, bicsu stranice trokuta iA, B, iliCje kut nasuprot stranici istog slova. TakoAje kut nasuprotnoj strania, Bje kut nasuprotnoj stranib, iCje kut nasuprotnoj stranic. Ovo je oblik jednadžbe koji koristite ako nalazite duljinu stranice trokuta.
Zakon kosinusa također se može prepisati u verzijama koje olakšavaju pronalazak bilo kojeg od tri kuta trokuta, pod pretpostavkom da znate duljine sve tri stranice trokuta:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Rješavanje za stranu
Da biste upotrijebili zakon kosinusa za rješavanje stranice trokuta, trebaju vam tri informacije: duljine druge dvije stranice trokuta, plus kut između njih. Odaberite verziju formule gdje se strana koju želite pronaći nalazi lijevo od jednadžbe, a podaci koje već imate nalaze se na desnoj strani. Pa ako želite pronaći duljinu stranicea, koristili biste verziju
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Vrijednosti dviju poznatih stranica i kut između njih zamijenite formulom. Ako vaš trokut ima poznate stranicebickoji mjere 5 jedinica odnosno 6 jedinica, a kut između njih mjeri 60 stupnjeva (što se također može izraziti u radijanima kao π / 3), imali biste:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Upotrijebite tablicu ili svoj kalkulator da biste pronašli vrijednost kosinusa; u ovom slučaju, cos (60) = 0,5, dajući vam jednadžbu:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Pojednostavite rezultat 2. koraka. Ovo vam daje:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Što zauzvrat pojednostavljuje na:
a ^ 2 = 31
Uzmite kvadratni korijen obje strane da biste završili rješavanjea. Ovo vam ostavlja:
a = \ sqrt {31}
Iako biste mogli koristiti grafikon ili kalkulator za procjenu vrijednosti 31 JPY (to je 5.568), često će vam biti dopušteno - pa čak i ohrabreno - odgovor ostaviti u preciznijem radikalnom obliku.
Rješavanje za kut
Možete primijeniti isti postupak za pronalaženje bilo kojeg kuta trokuta ako znate sve tri njegove stranice. Ovaj put ćete odabrati verziju formule koja stavlja kut koji nedostaje ili "ne znam" na lijevu stranu znaka jednakosti. Zamislite da želite pronaći mjeru kuta C (koji je, sjetite se, definiran kao kut nasuprotne stranec). Koristili biste ovu verziju formule:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Zamijenite poznate vrijednosti - u ovoj vrsti problema, što znači duljine sve tri stranice trokuta - u jednadžbu. Kao primjer, neka budu stranice vašeg trokutaa= 3 jedinice,b= 4 jedinice ic= 25 jedinica. Dakle, vaša jednadžba postaje:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Jednom kada pojednostavite rezultirajuću jednadžbu, imat ćete:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
ili jednostavno cos (C) = 0.
Izračunajte inverzni kosinus ili lučni kosinus od 0, često zabilježeni kao cos-1(0). Ili, drugim riječima, koji kut ima kosinus 0? Zapravo postoje dva kuta koja vraćaju ovu vrijednost: 90 stupnjeva i 270 stupnjeva. Ali po definiciji znate da svaki kut u trokutu mora biti manji od 180 stupnjeva, tako da to ostavlja samo 90 stupnjeva kao opciju.
Dakle, mjera vašeg kuta koji nedostaje je 90 stupnjeva, što znači da se slučajno bavite pravokutnim trokutom, iako ova metoda radi i s nepravičnim trokutima.