Većina ljudi se sjećaPitagorin poučakod početničke geometrije - to je klasika. To je
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
gdjea, bicsu stranice pravokutnog trokuta (cje hipotenuza). Pa, ovaj se teorem može prepisati i za trigonometriju!
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Pitagorini identiteti jednadžbe su koje pišu Pitagorin teorem u smislu trig funkcija.
GlavniPitagorejski identitetisu:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ dječji krevet ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Pitagorejski identiteti su primjeritrigonometrijski identiteti: jednakosti (jednadžbe) koje koriste trigonometrijske funkcije.
Zašto je to važno?
Pitagorini identiteti mogu biti vrlo korisni za pojednostavljivanje kompliciranih trig izjava i jednadžbi. Zapamtite ih sada i možete si uštedjeti puno vremena na putu!
Dokaz korištenjem definicija trig funkcija
Te je identitete prilično jednostavno dokazati ako razmislite o definicijama trig funkcija. Na primjer, dokažimo to
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Sjetite se da je definicija sinusa suprotna strana / hipotenuza, a da je kosinus susjedna strana / hipotenuza.
Tako
\ sin ^ 2 = \ frak {\ tekst {nasuprot} ^ 2} {\ tekst {hipotenuza} ^ 2}
I
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {susjedni} ^ 2} {\ text {hipotenuza} ^ 2}
To dvoje možete lako dodati, jer su nazivnici isti.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frak {\ tekst {nasuprot} ^ 2 + \ tekst {susjedni} ^ 2} {\ tekst {hipotenuza} ^ 2}
Sada ponovno pogledajte Pitagorin teorem. To kažea2 + b2 = c2. Imajte na umu daaibstoje na suprotnoj i susjednoj strani, icstoji za hipotenuzu.
Jednadžbu možete preurediti dijeljenjem obje strane sac2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Oda2 ib2 su suprotne i susjedne stranice ic2 je hipotenuza, imate izjavu ekvivalentnu onoj gore, sa (suprotno2 + susjedni2) / hipotenuza2. I zahvaljujući radu saa, b, ci Pitagorin teorem, sada možete vidjeti da je ova izjava jednaka 1!
Tako
\ frac {\ text {nasuprot} ^ 2 + \ text {susjedno} ^ 2} {\ text {hipotenuza} ^ 2} = 1
i stoga:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(I bolje je to pravilno napisati: grijeh2(θ) + cos2(θ) = 1).
Uzajamni identiteti
Provedimo nekoliko minuta gledajućiuzajamni identitetitakođer. Zapamtite darecipročanje jedan podijeljen s ("preko") vašim brojem - poznat i kao inverzni.
Budući da je kosekant recipročni sinus:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
O cosecant-u također možete razmišljati koristeći definiciju sinusa. Na primjer, sinus = suprotna strana / hipotenuza. Inverzna tome bit će razlomak preokrenut naopako, što je hipotenuza / suprotna strana.
Slično tome, kosinusova uzajamnost je sekanta, pa se definira kao
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {ili} \ frac {\ text {hipotenuza}} {\ text {susjedna strana}}
A recipročna vrijednost tangente je kotangens, dakle
\ dječji krevetić (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {susjedna strana}} {\ text {suprotna strana}}
Dokazi za pitagorejske identitete koji koriste sekant i kosekant vrlo su slični onima za sinus i kosinus. Jednadžbe također možete izvesti pomoću "roditeljske" jednadžbe, sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Podijelite obje strane s cos2(θ) da se dobije identitet 1 + tan2(θ) = sek2(θ). Podijelite obje strane grijehom2(θ) da biste dobili identitet 1 + dječji krevetić2(θ) = csc2(θ).
Sretno i svakako upamtite tri pitagorejska identiteta!