Ponekad je jedini način za prolazak kroz matematičke izračune grubom silom. No svako toliko možete uštedjeti puno posla prepoznavanjem posebnih problema koje možete riješiti pomoću standardizirane formule. Pronalaženje zbroja kocki i pronalazak razlike u kockama dva su primjera upravo toga: Jednom kad znate formule za faktoringa3 + b3 ilia3 - b3, pronalaženje odgovora jednostavno je kao i zamjena vrijednosti za a i b u ispravnu formulu.
Stavljanje u kontekst
Prvo, brzi pogled zašto biste možda željeli pronaći - ili prikladnije "faktor" - zbrojeve ili razlike kockica. Kada se koncept prvi put uvodi, to je sam po sebi jednostavan matematički problem. Ali ako nastavite učiti matematiku, kasnije će ovo postati posredni korak u složenijim izračunima. Pa ako dobijetea3 + b3 ilia3 − b3 kao odgovor tijekom drugih izračuna možete koristiti vještine koje ćete naučiti kako biste razbili te kockice brojevi razdvojeni na jednostavnije komponente, što često olakšava nastavak rješavanja originala problem.
Faktoriranje zbroja kockica
Zamislite da ste stigli do binoma
x ^ 3 + 27
i mole se da to pojednostave. Prvi mandat,x3, očito je kockasti broj. Nakon malog pregleda možete vidjeti da je i drugi broj zapravo kockasti broj: 27 je isto što i 33. Sad kad znate da su oba broja kocke, možete primijeniti formulu za zbroj kocki.
Zapišite oba broja u obliku kockica, ako to već nije slučaj. Da biste nastavili ovaj primjer, trebali biste:
x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3
Kad se naviknete na postupak, možete preskočiti ovaj korak i prijeći ravno na popunjavanje vrijednosti iz koraka 1 u formulu. Ali pogotovo kad učite, najbolje je ići korak po korak i podsjetiti se na formulu:
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Usporedite lijevu stranu ove jednadžbe s rezultatom iz 1. koraka. Imajte na umu da možete zamijenitixumjestoa,i 3 na mjestub.
Vrijednosti iz koraka 1 zamijenite formulom iz koraka 2. Dakle, imate:
x ^ 3 + 3 ^ 3 = (x + 3) (x ^ 2 - 3x + 3 ^ 2)
Za sada dolazak na desnu stranu jednadžbe predstavlja vaš odgovor. To je rezultat računanja zbroja dvaju kockastih brojeva.
Faktoriranje razlike kockica
Faktoriziranje razlike dvaju kockastih brojeva djeluje na isti način. Zapravo je formula gotovo identična formuli za zbroj kocki. No, postoji jedna kritična razlika: Obratite posebnu pozornost na to kamo ide znak minus.
Zamislite da ste shvatili problem
y ^ 3 - 125
i to treba uzeti u obzir. Kao prije,g3 je očita kocka i s malo razmišljanja trebali biste znati prepoznati da je 125 zapravo 53. Dakle, imate:
y ^ 3 - 125 = y ^ 3 - 5 ^ 3
Kao i prije, zapišite formulu za razliku kockica. Primijetite da možete zamijenitigzaai 5 forb, i posebno zabilježite kamo u ovoj formuli ide znak minus. Mjesto znaka minus jedina je razlika između ove formule i formule za zbroj kocki.
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Ponovno zapišite formulu, ovaj put zamjenjujući vrijednosti iz 1. koraka. To daje:
y ^ 3 - 5 ^ 3 = (y - 5) (y ^ 2 + 5y + 5 ^ 2)
Opet, ako sve što trebate učiniti je ubrojiti razliku u kockama, ovo je vaš odgovor.