Kako objasniti različite vrste dokaza u geometriji

Suočite se s tim: dokazi nisu laki. A u geometriji se čini da se stvari pogoršavaju, jer sada morate slike pretvoriti u logične izjave, donoseći zaključke na temelju jednostavnih crteža. Različite vrste dokaza koje učite u školi u početku mogu biti neodoljive. Ali nakon što shvatite svaku vrstu, puno će vam lakše biti zamatati glavu kada i zašto koristiti različite vrste dokaza u geometriji.

Izravni dokaz djeluje poput strelice. Počinjete s danim informacijama i nadograđujete ih, krećući se u smjeru hipoteze koju želite dokazati. U korištenju izravnog dokaza upotrebljavate zaključke, pravila iz geometrije, definicije geometrijskih oblika i matematičku logiku. Izravni dokaz je najstandardnija vrsta dokaza i, za mnoge studente, prijelazni stil za rješavanje geometrijskog problema. Na primjer, ako znate da je točka C srednja točka prave AB, možete dokazati da je AC = CB pomoću koristeći definiciju središnje točke: Točka koja pada na jednaku udaljenost od svakog kraja linije segment. Ovo razrađuje definiciju srednje točke i ubraja se u izravan dokaz.

Neizravni dokaz je poput bumeranga; omogućuje vam preokretanje problema. Umjesto da radite samo na iskazima i oblicima koji su vam dati, problem mijenjate uzimajući izjavu koju želite dokazati i pretpostavljajući da nije istina. Odatle pokazujete da to nikako ne može biti istina, što je dovoljno da dokaže da je istina. Iako zvuči zbunjujuće, može pojednostaviti brojne dokaze koji se čine izravnim dokazivanjem teško dokazivima. Na primjer, zamislimo da imate vodoravnu liniju AC koja prolazi kroz točku B, a u točki B je crta okomita na AC s krajnjom točkom D, koja se naziva linija BD. Ako želite dokazati da je mjera kuta ABD 90 stupnjeva, možete započeti razmatranjem što bi značilo da mjera ABD nije 90 stupnjeva. To bi vas dovelo do dva nemoguća zaključka: AC i BD nisu okomiti, a AC nije linija. Ali obje su činjenice navedene u problemu, koji je kontradiktoran. To je dovoljno da se dokaže da je ABD 90 stupnjeva.

Ponekad se susretnete s problemom koji traži da dokažete da nešto nije istina. U takvom slučaju možete se koristiti lansirnom rampom kako biste se raznijeli od potrebe za izravnim rješavanjem problema, umjesto davanja protuprimjera koji pokazuje kako nešto nije istina. Kada upotrebljavate protuprimjer, potreban vam je samo jedan dobar protuprimjer da biste dokazali svoje stajalište, a dokaz će biti valjan. Na primjer, ako trebate potvrditi ili poništiti izjavu "Svi su trapezoidi paralelogrami", trebate navesti samo jedan primjer trapeza koji nije paralelogram. To biste mogli učiniti crtanjem trapeza sa samo dvije paralelne stranice. Postojanje oblika koji ste upravo nacrtali opovrglo bi tvrdnju "Svi su trapezoidi paralelogrami."

Baš kao što je geometrija vizualna matematika, dijagram toka ili dokaz protoka vizualna je vrsta dokaza. U provjeri protoka započinjete tako što zapisujete ili crtate sve informacije koje znate jednu do druge. Odavde napravite zaključke zapisujući ih u donji redak. Čineći to, vi "slažete" svoje podatke, čineći nešto poput naopake piramide. Informacije koje imate koriste za donošenje više zaključaka u donjim redovima dok ne dođete do dna, jedne izjave koja dokazuje problem. Na primjer, možda imate liniju L koja prolazi kroz točku P linije MN, a pitanje traži da dokažete MP = PN s obzirom na to da L dijeli MN. Mogli biste započeti pisanjem danih podataka, na vrhu napišući "L dijeli MN na P". Ispod nje napišite podatke koji slijede iz danih podataka: Bisekcije proizvode dva sukladna segmenta linije. Pored ove izjave napišite geometrijsku činjenicu koja će vam pomoći da dođete do dokaza; za ovaj problem pomaže činjenica da su podudarni dijelovi linija jednake duljine. Napišite to. Ispod ove dvije informacije možete napisati zaključak koji prirodno slijedi: MP = PN.