Trigonometrija se može osjećati prilično apstraktno. Čini se da tajni pojmovi poput "grijeh" i "cos" ničemu ne odgovaraju u stvarnosti, a teško ih je shvatiti kao koncepte. Jedinstveni krug u tome znatno pomaže, nudeći izravno objašnjenje koji su brojevi koje dobijete kada uzmete sinus, kosinus ili tangentu kuta. Za sve studente znanosti ili matematike, razumijevanje kruga jedinice stvarno može učvrstiti vaše razumijevanje trigonometrije i načina korištenja funkcija.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Jedinstvena kružnica ima polumjer jedan. Zamislitexykoordinatni sustav koji započinje u središtu ovog kruga. Točkasti kutovi mjere se od kudax= 1 ig= 0, s desne strane kruga. Kutovi se povećavaju dok se pomičete u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Koristeći ovaj okvir igzag-koordinirati ixzax-koordinata točke na kružnici:
grijehθ = g
cosθ = x
I posljedično tome:
preplanuliθ = g / x
Što je jedinstveni krug?
Krug "jedinice" ima polumjer 1. Drugim riječima, udaljenost od središta kruga do bilo kojeg dijela ruba uvijek je 1. Mjerna jedinica zapravo nije bitna, jer je najvažnije kod jedinične kružnice to što mnoge jednadžbe i izračune čini mnogo jednostavnijima.
Također služi kao korisna osnova za promatranje definicija kutova. Zamislite da središte kruga sjedi u središtu koordinatnog sustava sx-os radi vodoravno i ag-os koja radi vertikalno. Krug prelazix-os kodx = 1, g= 0. Znanstvenici i matematičari definiraju kut iz te točke koji se kreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Dakle poantax =1, g= 0 na kružnici je pod kutom od 0 °.
Definicije grijeha i koz s jedinstvenim krugom
Uobičajene definicije grijeha, cos i tan koje se daju studentima odnose se na trokute. Oni navode:
\ sin θ = \ frac {\ text {nasuprot}} {\ text {hipotenuza}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {susjedna}} {\ text {hipotenuza}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
"Suprotno" odnosi se na duljinu stranice trokuta nasuprot kutu, "susjedno" se odnosi na duljina stranice uz kut i "hipotenuza" se odnosi na duljinu dijagonalne stranice trokut.
Zamislite da stvorite trokut tako da hipotenuza uvijek bude polumjer jedinične kružnice, s jednim kutom na rubu kružnice i jednim u njegovom središtu. To znači da je hipotenuza = 1 u gornjim jednadžbama, pa prve dvije postaju:
\ sin θ = \ frac {\ text {nasuprot}} {1} = \ text {nasuprot} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {susjedni}} {1} = \ text {susjedni} \\
Ako dotični kut napravite onim u središtu kružnice, suprotan je samog-koordinata i susjedni je samox-koordinata točke na kružnici koja dodiruje trokut. Drugim riječima, grijeh vraćag-koordinata na jediničnoj kružnici (pomoću koordinata koje počinju u središtu) za zadani kut i cos vraćax-Koordinirati. Zbog toga je cos (0) = 1 i sin (0) = 0, jer su u ovom trenutku to koordinate. Isto tako, cos (90) = 0 i sin (90) = 1, jer je to točka sax= 0 ig= 1. U obliku jednadžbe:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Negativne kutove je također lako razumjeti na temelju toga. Negativni kutovi (izmjereni u smjeru kazaljke na satu od početne točke) imaju jednakexkoordinata kao odgovarajući pozitivni kut, pa:
\ cos -θ = \ cos θ
Međutimg-koordinatne sklopke, što znači da
\ sin -θ = - \ sin θ
Definicija tan s krugom jedinice
Gore navedena definicija preplanulosti je:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Ali s definicijama jedinstvenog kruga grijeha i cos, možete vidjeti da je to ekvivalentno:
\ tan θ = \ frac {\ text {nasuprot}} {\ text {susjedni}}
Ili, razmišljajući u smislu koordinata:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
To objašnjava zašto je ten nedefiniran za 90 ° ili −270 ° i 270 ° ili −90 ° (gdjex= 0), jer ne možete podijeliti s nulom.
Grafikovanje trigonometrijskih funkcija
Grafički prikaz grijeha ili cos postaje lakši kada pomislite na jedinstveni krug. Thex-koordinata se glatko mijenja dok se krećete po krugu, počevši od 1 i smanjujući se na minimalno -1 na 180 °, a zatim povećavajući na isti način. Funkcija grijeha radi isto, ali se prvo povećava na maksimalnu vrijednost od 1 na 90 °, prije nego što slijedi isti obrazac. Za dvije funkcije se kaže da su međusobno 90 ° izvan "faze".
Grafička preplanulost zahtijeva dijeljenjegpox, i tako je složeniji za grafički prikaz, a ima i točke u kojima je nedefiniran.