Jednom kad se počnete baviti trigonometrijom i računom, možete naići na izraze poput grijeha (2θ), gdje se traži da pronađete vrijednostθ. Igranje pokušaja i pogrešaka s grafikonima ili kalkulatorom kako bi se pronašao odgovor kretalo bi se od dugotrajne noćne more do potpuno nemoguće. Srećom, dvostruki identiteti su tu da pomognu. Ovo su posebni slučajevi onoga što je poznato kao složena formula, koja razbija funkcije oblika (A + B) ili (A – B) dolje u funkcije pravednogAiB.
Dvokutni identiteti za sinus
Postoje tri identiteta s dvostrukim kutom, po jedan za sinusnu, kosinusnu i tangentnu funkciju. Ali sinusni i kosinusni identitet mogu se napisati na više načina. Evo dva načina zapisivanja dvokutnog identiteta za sinusnu funkciju:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dvokutni identiteti za Cosine
Postoji još više načina pisanja dvostrukog identiteta za kosinus:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dvokutni identitet za tangentu
Milostivo, postoji samo jedan način da se napiše identitet dvostrukog kuta za funkciju tangente:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Korištenje dvokutnih identiteta
Zamislite da ste suočeni s pravokutnim trokutom gdje znate duljinu njegovih stranica, ali ne i mjeru njegovih kutova. Od vas se traži da pronađeteθ, gdjeθje jedan od kutova trokuta. Ako hipotenuza trokuta mjeri 10 jedinica, stranica uz vaš kut mjeri 6 jedinica a stranica nasuprot kutu mjeri 8 jedinica, nema veze što ne znate mjeruθ; za pronalaženje odgovora možete koristiti svoje znanje o sinusu i kosinusu, plus jednu od formula s dvostrukim kutom.
Nakon što odaberete kut, sinus možete definirati kao omjer suprotne strane nad hipotenuzom, a kosinus kao omjer susjedne stranice nad hipotenuzom. Dakle, u upravo navedenom primjeru imate:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Ova dva izraza ćete pronaći jer su oni najvažniji gradivni elementi za formule s dvostrukim kutom.
Budući da postoji toliko mnogo formula s dvostrukim kutom, možete odabrati onu koja izgleda lakše za izračunavanje i koja će vratiti vrstu informacija koja vam treba. U ovom slučaju, jer znate grijehθi cosθveć je jasno da je najprikladniji izraz:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Vrijednosti sinθ i cosθ već znate, pa ih zamijenite u jednadžbu:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Jednom kada pojednostavite, imat ćete:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Većina trigonometrijskih karata dana je u decimalama, pa slijedeća obrada podjele predstavljene razlomkom pretvara u decimalni oblik. Sada imate:
\ sin (2θ) = 0,96
Konačno, pronađite inverzni sinus ili arksinus od 0,96, što je zapisano kao grijeh −1(0.96). Ili, drugim riječima, upotrijebite svoj kalkulator ili grafikon kako biste približili kut koji ima sinus 0,96. Ispostavilo se da je to gotovo točno jednako 73,7 stupnjeva. Dakle 2θ= 73,7 stupnjeva.
Podijelite svaku stranicu jednadžbe s 2. Ovo vam daje:
θ = 36,85 \ tekst {stupnjeva}