Iako engleske riječi "slijed" i "serija" imaju slična značenja, u matematici su to potpuno različiti pojmovi. Niz je popis brojeva smještenih definiranim redoslijedom, dok je niz zbroj takvog popisa brojeva. Postoje mnoge vrste nizova, uključujući one koji se temelje na beskonačnim popisima brojeva. Različiti nizovi i odgovarajuće serije imaju različita svojstva i mogu dati iznenađujuće rezultate.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Nizovi su popisi brojeva smješteni u određenom redoslijedu prema zadanim pravilima. Niz koji odgovara nizu je zbroj brojeva u tom nizu. Niz može biti aritmetički, što znači da postoji fiksna razlika između brojeva niza, ili geometrijski, što znači da postoji fiksni faktor. Beskonačne serije nemaju konačni broj, ali pod određenim uvjetima mogu imati fiksni zbroj.
Vrste sekvenci i serija
Uobičajeni nizovi su aritmetički ili geometrijski. U aritmetičkom nizu, svaki broj ili pojam niza razlikuje se od prethodnog pojma za isti iznos. Na primjer, ako je razlika aritmetičkog niza 2, odgovarajući aritmetički niz može biti 1, 3, 5... Ako je razlika -3, niz može biti 4, 1, -2... Aritmetički niz definiran je početnim brojem i razlikom.
Za geometrijske nizove pojmovi se razlikuju po faktoru. Na primjer, slijed s faktorom 2 može biti 2, 4, 8... a slijed s faktorom 0,75 mogao bi biti 32, 24, 18... Geometrijski niz definiran je početnim brojem i faktorom.
Vrste serija ovise o slijedu koji se dodaje. Aritmetički niz dodaje pojmove aritmetičkog niza, a geometrijski niz dodaje geometrijski niz.
Konačni i beskonačni nizovi i nizovi
Nizovi i odgovarajuće serije mogu se temeljiti na fiksnom broju pojmova ili beskonačnom broju. Konačni niz ima početni broj, razliku ili faktor i fiksni ukupan broj članaka. Na primjer, prvi aritmetički slijed gore s osam pojmova bio bi 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Prvi geometrijski slijed gore sa šest pojmova bio bi 2, 4, 8, 16, 32, 64. Odgovarajući aritmetički niz imao bi vrijednost 64, a geometrijski niz 126. Beskonačni nizovi nemaju fiksni broj pojmova, a njihovi pojmovi mogu rasti do beskonačnosti, smanjiti se na nulu ili se približiti fiksnoj vrijednosti. Odgovarajući niz također može imati beskonačni, nulti ili fiksni rezultat.
Konvergentne i divergentne serije
Beskonačni nizovi su divergentni ako se zbroj približi beskonačnosti kako se povećava broj članova. Beskonačni niz je konvergentan ako se njegov zbroj približi nekonačnoj vrijednosti poput nule ili drugog fiksnog broja. Nizovi su konvergentni ako se članovi temeljnog niza brzo približe nuli.
Niz koji dodaje izraze beskonačnog niza 1, 2, 4... je divergentna jer izrazi niza rastu, dopuštajući zbroju da dosegne beskonačnu vrijednost kako se broj pojmova povećava. Serije 1, 0,5, 0,25... konvergentan je jer pojmovi brzo postaju vrlo mali.
Iako su nizovi poredani popisi brojeva, a nizovi su zbroji, oba mogu biti važni alati u procjenjivanje skupova brojeva i svojstva konvergencije ili divergencije mogu imati stvarni život implikacije. Divergentni niz često predstavlja nestabilno stanje, dok konvergentni niz često znači da će postupak ili struktura biti stabilni.