एक बार जब आप बहुपदों को शामिल करने वाले बीजीय समीकरणों को हल करना शुरू कर देते हैं, तो बहुपदों के विशेष, आसानी से कारक रूपों को पहचानने की क्षमता बहुत उपयोगी हो जाती है। स्पॉट करने के लिए सबसे उपयोगी "आसान-कारक" बहुपदों में से एक पूर्ण वर्ग, या त्रिपद है जो एक द्विपद को चुकता करने के परिणामस्वरूप होता है। एक बार जब आप एक पूर्ण वर्ग की पहचान कर लेते हैं, तो इसे इसके अलग-अलग घटकों में विभाजित करना अक्सर समस्या-समाधान प्रक्रिया का एक महत्वपूर्ण हिस्सा होता है।
इससे पहले कि आप एक पूर्ण वर्ग त्रिपद का गुणनखंड कर सकें, आपको इसे पहचानना सीखना होगा। एक पूर्ण वर्ग दो रूपों में से किसी एक को ले सकता है
a^2 + 2ab + b^2 \text{, जो } (a + b)(a + b) = (a + b)^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 \text का गुणनफल है {, जो } (a - b)(a - b) = (a - b)^2. का गुणनफल है
ट्रिनोमियल के पहले और तीसरे शब्दों की जाँच करें। क्या वे दोनों वर्ग हैं? यदि हाँ, तो ज्ञात कीजिए कि वे किस वर्ग के हैं। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए दूसरे "वास्तविक दुनिया" उदाहरण में:
वाई^2 - 2y + 1
अवधिआप2 स्पष्ट रूप से का वर्ग हैवाईशब्द १, शायद कम स्पष्ट रूप से, १ का वर्ग है, क्योंकि १2 = 1.
पहले और तीसरे पदों की जड़ों को एक साथ गुणा करें। उदाहरण जारी रखने के लिए, वह हैआपऔर 1, जो आपको देता हैआप × 1 = 1आपया केवलआप.
इसके बाद, अपने उत्पाद को 2 से गुणा करें। उदाहरण को जारी रखते हुए, आपके पास 2वाई
अंत में, अंतिम चरण के परिणाम की तुलना बहुपद के मध्य पद से करें। क्या वे मेल खाते हैं? बहुपद मेंआप2 – 2आप+1, वे करते हैं। (संकेत अप्रासंगिक है; यह एक मैच भी होगा यदि मध्य पद +2. थाआप.)
क्योंकि चरण 1 में उत्तर "हां" था और चरण 2 से आपका परिणाम बहुपद के मध्य पद से मेल खाता है, आप जानते हैं कि आप एक पूर्ण वर्ग त्रिपद को देख रहे हैं।
एक बार जब आप जान जाते हैं कि आप एक पूर्ण वर्ग ट्रिनोमियल देख रहे हैं, तो इसे फैक्टर करने की प्रक्रिया काफी सीधी है।
ट्रिनोमियल के पहले और तीसरे शब्दों में, जड़ों या वर्गों की संख्या की पहचान करें। अपने अन्य उदाहरण त्रिपदों पर विचार करें जिन्हें आप पहले से जानते हैं एक पूर्ण वर्ग है:
x^2 + 8x + 16
स्पष्ट रूप से पहले पद में चुकता होने वाली संख्या हैएक्स. तीसरे पद में चुकता होने वाली संख्या 4 है, क्योंकि 42 = 16.
पूर्ण वर्ग त्रिपदों के सूत्रों पर वापस विचार करें। आप जानते हैं कि आपके कारक या तो रूप लेंगे (ए + ख)(ए + ख) या फॉर्म (ए – ख)(ए – ख), कहां हैएतथाखवे संख्याएँ हैं जिन्हें पहले और तीसरे पदों में वर्गित किया जा रहा है। तो आप अपने कारकों को इस प्रकार लिख सकते हैं, अभी के लिए प्रत्येक पद के मध्य में चिह्नों को छोड़ कर:
(ए \,? \,बी 0 ए \,? \,b) = a^2 \,?\, 2ab + b^2
अपने वर्तमान ट्रिनोमियल की जड़ों को प्रतिस्थापित करके उदाहरण जारी रखने के लिए, आपके पास है:
(x \,?\, 4)(x \, ?\, 4) = x^2 + 8x + 16
त्रिपद के मध्य पद की जाँच करें। क्या इसका कोई धनात्मक चिह्न या ऋणात्मक चिह्न है (या, दूसरे शब्दों में कहें तो, क्या इसे जोड़ा या घटाया जा रहा है)? यदि इसका धनात्मक चिन्ह है (या जोड़ा जा रहा है), तो त्रिपद के दोनों गुणनखंडों के बीच में धन का चिन्ह होता है। यदि इसका ऋणात्मक चिह्न है (या घटाया जा रहा है), तो दोनों कारकों के मध्य में ऋणात्मक चिह्न होता है।
वर्तमान उदाहरण त्रिपद का मध्य पद 8. हैएक्स- यह सकारात्मक है - इसलिए अब आपने पूर्ण वर्ग त्रिपद का गुणनखंड कर लिया है:
(x + 4)(x + 4) = x^2 + 8x + 16
दो कारकों को एक साथ गुणा करके अपने काम की जाँच करें। एफओआईएल या पहली, बाहरी, आंतरिक, अंतिम विधि को लागू करने से आपको निम्न मिलता है:
x^2 + 4x + 4x + 16
इसे सरल करने से परिणाम मिलता हैएक्स2 + 8एक्स+16, जो आपके त्रिपद से मेल खाता है। तो कारक सही हैं।