वास्तविक संख्याएँ क्या हैं?

वास्तविक संख्याएँ एक संख्या रेखा पर सभी संख्याएँ हैं जो ऋणात्मक अनंत से शून्य से धनात्मक अनंत तक फैली हुई हैं। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का यह निर्माण मनमाना नहीं है, बल्कि गिनती के लिए उपयोग की जाने वाली प्राकृतिक संख्याओं के विकास का परिणाम है। प्राकृतिक संख्याओं की प्रणाली में कई विसंगतियां हैं, और जैसे-जैसे गणना अधिक जटिल होती गई, संख्या प्रणाली का विस्तार इसकी सीमाओं को दूर करने के लिए हुआ। वास्तविक संख्याओं के साथ, गणना लगातार परिणाम देती है, और कुछ अपवाद या सीमाएँ हैं जैसे कि संख्या प्रणाली के अधिक आदिम संस्करणों के साथ मौजूद थे।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में एक संख्या रेखा पर सभी संख्याएँ होती हैं। इसमें प्राकृत संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ शामिल हैं। इसमें काल्पनिक संख्याएँ या सम्मिश्र संख्याएँ शामिल नहीं हैं।

क्लोजर संख्याओं के एक सेट की संपत्ति है, जिसका अर्थ है कि यदि अनुमत गणना उन संख्याओं पर की जाती है जो सेट के सदस्य हैं, तो उत्तर भी संख्याएं होंगी जो सेट के सदस्य हैं। सेट बंद बताया जा रहा है।

प्राकृतिक संख्याएँ गिनती संख्याएँ हैं, 1, 2, 3..., और प्राकृत संख्याओं का समुच्चय बंद नहीं है। जैसा कि वाणिज्य में प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग किया गया था, तुरंत दो समस्याएं उत्पन्न हुईं। जबकि प्राकृतिक संख्याओं ने वास्तविक वस्तुओं को गिना, उदाहरण के लिए गाय, यदि एक किसान के पास पाँच गायें थीं और पाँच गायें बेचीं, तो परिणाम के लिए कोई प्राकृतिक संख्या नहीं थी। प्रारंभिक संख्या प्रणालियों ने इस समस्या को हल करने के लिए बहुत जल्दी शून्य के लिए एक शब्द विकसित किया। परिणाम पूर्ण संख्याओं की प्रणाली थी, जो कि प्राकृत संख्याएँ जमा शून्य है।

दूसरी समस्या भी घटाव से जुड़ी थी। जब तक गायों जैसी वास्तविक वस्तुओं की गिनती की जाती है, तब तक किसान अपने से अधिक गायों को नहीं बेच सकता था। लेकिन जब संख्याएँ सार बन गईं, तो छोटी संख्याओं में से बड़ी संख्याओं को घटाने पर पूर्ण संख्याओं की प्रणाली के बाहर उत्तर मिल गए। परिणामस्वरूप, पूर्णांक, जो कि पूर्ण संख्याएँ और ऋणात्मक प्राकृत संख्याएँ हैं, पेश किए गए। संख्या प्रणाली में अब एक पूर्ण संख्या रेखा शामिल है लेकिन केवल पूर्णांकों के साथ।

एक बंद संख्या प्रणाली में गणना के लिए संख्या प्रणाली के भीतर से उत्तर देना चाहिए जोड़ और गुणा जैसे संचालन लेकिन उनके विपरीत संचालन, घटाव और के लिए भी विभाजन। पूर्णांकों की प्रणाली जोड़, घटाव और गुणा के लिए बंद है लेकिन विभाजन के लिए नहीं। यदि एक पूर्णांक को किसी अन्य पूर्णांक से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक पूर्णांक नहीं होता है।

एक छोटे पूर्णांक को एक बड़े से भाग देने पर भिन्न प्राप्त होता है। ऐसे भिन्नों को संख्या प्रणाली में परिमेय संख्याओं के रूप में जोड़ा गया। परिमेय संख्याओं को किसी भी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। किसी भी मनमाना दशमलव संख्या को परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए 2.864 2864/1000 है और 0.89632 89632/100,000 है। संख्या रेखा अब पूरी होती दिख रही थी।

संख्या रेखा पर ऐसी संख्याएँ होती हैं जिन्हें पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं का कर्ण से अनुपात है। यदि एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ 1 और 1 हैं, तो कर्ण 2 का वर्गमूल है। दो का वर्गमूल एक अनंत दशमलव है जो दोहराता नहीं है। ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है, और इनमें वे सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल होती हैं जो परिमेय नहीं होती हैं। इस परिभाषा के साथ, सभी वास्तविक संख्याओं की संख्या रेखा पूर्ण होती है क्योंकि कोई अन्य वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं है, अपरिमेय की परिभाषा में शामिल है।

यद्यपि वास्तविक संख्या रेखा को ऋणात्मक से धनात्मक अनंत तक विस्तारित करने के लिए कहा जाता है, अनंत स्वयं एक नहीं है वास्तविक संख्या बल्कि संख्या प्रणाली की एक अवधारणा जो इसे किसी भी मात्रा से बड़ी मात्रा के रूप में परिभाषित करती है संख्या। गणितीय रूप से अनंत 1/x का उत्तर है क्योंकि x शून्य तक पहुंचता है, लेकिन शून्य से विभाजन परिभाषित नहीं है। यदि अनंत एक संख्या है, तो यह विरोधाभासों को जन्म देगा क्योंकि अनंत अंकगणित के नियमों का पालन नहीं करता है। उदाहरण के लिए, अनंत प्लस 1 अभी भी अनंत है।

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय शून्य से भाग देने के अलावा जोड़, घटाव, गुणा और भाग के लिए बंद है, जो परिभाषित नहीं है। सेट कम से कम एक अन्य ऑपरेशन के लिए बंद नहीं है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में गुणन के नियम निर्दिष्ट करते हैं कि ऋणात्मक और a. का गुणन धनात्मक संख्या ऋणात्मक संख्या देती है जबकि धनात्मक या ऋणात्मक संख्याओं का गुणन धनात्मक देता है उत्तर। इसका अर्थ है कि किसी संख्या को अपने आप से गुणा करने की विशेष स्थिति धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याओं के लिए एक धनात्मक संख्या प्राप्त करती है। इस विशेष मामले का व्युत्क्रम एक सकारात्मक संख्या का वर्गमूल है, जो सकारात्मक और नकारात्मक दोनों उत्तर देता है। एक ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल के लिए वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में कोई उत्तर नहीं होता है।

काल्पनिक संख्याओं के समुच्चय की अवधारणा वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक वर्गमूल के मुद्दे को संबोधित करती है। माइनस 1 का वर्गमूल i के रूप में परिभाषित किया गया है और सभी काल्पनिक संख्याएं i के गुणज हैं। संख्या सिद्धांत को पूरा करने के लिए, जटिल संख्याओं के सेट को सभी वास्तविक और सभी काल्पनिक संख्याओं को शामिल करने के रूप में परिभाषित किया गया है। वास्तविक संख्याओं को एक क्षैतिज संख्या रेखा पर देखना जारी रखा जा सकता है जबकि काल्पनिक संख्याएँ एक ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा होती हैं, जिसमें दो प्रतिच्छेद शून्य पर होती हैं। सम्मिश्र संख्याएं दो संख्या रेखाओं के तल में स्थित बिंदु होती हैं, जिनमें से प्रत्येक में एक वास्तविक और एक काल्पनिक घटक होता है।