वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय क्या होते हैं?

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में एक संख्या रेखा पर सभी संख्याएँ होती हैं। उपसमुच्चय में संख्याओं का कोई भी संग्रह शामिल हो सकता है, लेकिन एक महत्वपूर्ण उपसमुच्चय के तत्वों में कम से कम कई विशेषताएं समान होनी चाहिए। इनमें से अधिकांश उपसमुच्चय केवल विशिष्ट गणनाओं के लिए उपयोगी होते हैं, लेकिन कुछ ऐसे होते हैं जिनमें दिलचस्प गुण होते हैं और यह समझने में मदद करते हैं कि वास्तविक संख्या प्रणाली कैसे काम करती है।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के सबसे महत्वपूर्ण उपसमुच्चय में परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ शामिल हैं। परिमेय संख्याओं के समुच्चय को आगे के उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता है, जिसमें प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ और पूर्णांक शामिल हैं। वास्तविक संख्याओं के अन्य उपसमुच्चय सम और विषम संख्याएँ, अभाज्य संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ हैं। कुल मिलाकर वास्तविक संख्याओं के अनंत उपसमुच्चय होते हैं।

n तत्वों की मात्रा वाले किसी भी सेट के लिए, उपसमुच्चय की संख्या 2. है^नहीं. वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में तत्वों की अनंत संख्या होती है, और इसलिए 2 का संगत घातांक भी अनंत होता है, जो उपसमुच्चय की अनंत संख्या देता है।

इनमें से कई उपसमुच्चय वास्तविक संख्या प्रणाली के साथ काम करते समय और गणना के दौरान उपयोग किए जा सकते हैं, लेकिन वे केवल विशिष्ट उद्देश्यों के लिए उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, दोस्तों के लिए कई पिज्जा की कीमत की गणना के लिए, केवल दस से सौ तक की संख्याओं का सबसेट रुचि का हो सकता है। एक बाहरी थर्मामीटर केवल माइनस 40 से प्लस 120 डिग्री फ़ारेनहाइट के तापमान का सबसेट दिखा सकता है। इस तरह के सबसेट के साथ काम करना उपयोगी है क्योंकि अपेक्षित सबसेट के बाहर कोई भी परिणाम शायद गलत है।

वास्तविक संख्याओं के अधिक सामान्य उपसमुच्चय संख्याओं को उनकी विशेषताओं के अनुसार वर्गीकृत करते हैं, और परिणामस्वरूप इन उपसमुच्चयों में अद्वितीय गुण होते हैं। वास्तविक संख्या प्रणाली उपसमुच्चय से विकसित हुई है जैसे कि प्राकृतिक संख्याएँ, जिनका उपयोग गिनती के लिए किया जाता है, और ऐसे उपसमुच्चय बीजगणित की समझ का आधार बनते हैं।

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय परिमेय और अपरिमेय संख्याओं से मिलकर बनता है। परिमेय संख्याएँ पूर्णांक और संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अन्य सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं, और उनमें 2 का वर्गमूल और संख्या pi जैसी संख्याएँ शामिल हैं। क्योंकि अपरिमेय संख्याओं को वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है, सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होनी चाहिए।

परिमेय संख्याओं को अतिरिक्त उपसमुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है। प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो ऐतिहासिक रूप से गिनती में उपयोग की जाती थीं, और वे अनुक्रम 1, 2, 3, आदि हैं। पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ जमा शून्य होती हैं। पूर्णांक पूर्ण संख्याएँ और ऋणात्मक प्राकृत संख्याएँ हैं।

परिमेय संख्याओं के अन्य उपसमुच्चय में सम, विषम, अभाज्य और पूर्ण संख्या जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं। सम संख्याएं पूर्णांक होती हैं जिनमें 2 का गुणनखंड होता है; विषम संख्याएँ अन्य सभी पूर्णांक हैं। अभाज्य संख्याएँ पूर्णांक होती हैं जिनमें केवल स्वयं और 1 गुणनखंड होते हैं। पूर्ण संख्याएं पूर्णांक होती हैं जिनके गुणनखंड संख्या में जुड़ते हैं। सबसे छोटी पूर्ण संख्या 6 है और इसके गुणनखंड 1, 2 और 3 का योग 6 होता है।

सामान्य तौर पर, वास्तविक संख्याओं के साथ की गई गणना वास्तविक संख्या के उत्तर देती है, लेकिन एक अपवाद है। ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसे स्वयं से गुणा करने पर उत्तर के रूप में एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्राप्त हो। परिणामस्वरूप, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं हो सकता। ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के वर्गमूल को काल्पनिक संख्याएँ कहा जाता है, और वे वास्तविक संख्याओं से पूरी तरह अलग संख्याओं के समूह के तत्व होते हैं।

वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय का अध्ययन संख्या सिद्धांत का हिस्सा है, और यह संख्याओं को वर्गीकृत करता है जिससे यह समझना आसान हो जाता है कि संख्या सिद्धांत कैसे काम करता है। वास्तविक संख्या उपसमुच्चय और उनके गुणों से परिचित होना आगे के गणितीय अध्ययन के लिए एक अच्छा आधार है।