बीजगणित में सबसे कठिन अवधारणाओं में से एक में घातांक, या शक्तियों का हेरफेर शामिल है। कई बार, समस्याओं के लिए आपको घातांक के साथ चर को सरल बनाने के लिए घातांक के नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता होगी, या आपको इसे हल करने के लिए घातांक वाले समीकरण को सरल बनाना होगा। घातांक के साथ कार्य करने के लिए, आपको मूल घातांक नियमों को जानना होगा।
एक घातांक की संरचना
घातांक उदाहरण 2. की तरह दिखते हैं3, जिसे दो से तीसरी शक्ति या दो घन, या 7. के रूप में पढ़ा जाएगा6, जिसे सात से छठी शक्ति के रूप में पढ़ा जाएगा। इन उदाहरणों में, 2 और 7 गुणांक या आधार मान हैं जबकि 3 और 6 घातांक या घात हैं। चर के साथ घातांक उदाहरण इस तरह दिखते हैंएक्स4 या 9आप2, जहां 1 और 9 गुणांक हैं,एक्सतथाआपचर हैं और 4 और 2 घातांक या घात हैं।
गैर-समान शर्तों के साथ जोड़ना और घटाना
जब कोई समस्या आपको दो शब्द, या खंड देती है, जिसमें सटीक समान चर या अक्षर नहीं होते हैं, जो एक ही घातांक तक उठाए जाते हैं, तो आप उन्हें जोड़ नहीं सकते। उदाहरण के लिए,
(4x^2)(y^3) + (6x^4)(y^2)
आगे सरलीकृत (संयुक्त) नहीं किया जा सका क्योंकिएक्सएस औरयूप्रत्येक पद में अलग-अलग शक्तियां हैं।
पसंद की शर्तें जोड़ना
यदि दो पदों में समान चर समान घातांक तक बढ़ाए गए हैं, तो उनके गुणांक (आधार) जोड़ें और संयुक्त पद के लिए नए गुणांक या आधार के रूप में उत्तर का उपयोग करें। प्रतिपादक वही रहते हैं। उदाहरण के लिए:
3x^2 + 5x^2 = 8x^2
समान पदों को घटाना
यदि दो पदों में समान चर समान घातांक तक बढ़ाए गए हैं, तो पहले से दूसरे गुणांक को घटाएं और संयुक्त पद के लिए नए गुणांक के रूप में उत्तर का उपयोग करें। शक्तियाँ स्वयं नहीं बदलती हैं। उदाहरण के लिए:
5y^3 - 7y^3 = -2y^3
गुणा
दो पदों को गुणा करते समय (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे समान पद हैं), नया गुणांक प्राप्त करने के लिए गुणांकों को एक साथ गुणा करें। फिर, एक-एक करके, नई शक्तियाँ बनाने के लिए प्रत्येक चर की शक्तियों को जोड़ें। यदि आप गुणा करते हैं
(6x^3z^2)(2xz^4)
आप के साथ समाप्त होगा
12x^4z^6
एक शक्ति की शक्ति
जब एक पद जिसमें घातांक वाले चर शामिल होते हैं, को दूसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो उस घात के गुणांक को बढ़ा दें और नए घातांक को खोजने के लिए प्रत्येक मौजूदा घात को दूसरी घात से गुणा करें। उदाहरण के लिए:
(5x^6y^2)^2 = 25x^{12}y^4
पहला पावर एक्सपोनेंट नियम
पहली शक्ति तक उठाई गई कोई भी चीज वही रहती है। उदाहरण के लिए, 71 सिर्फ 7 होगा और (एक्स2आर3)1 करने के लिए सरल होगाएक्स2आर3.
शून्य के प्रतिपादक
0 की घात तक कोई भी चीज 1 नंबर बन जाती है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि शब्द कितना जटिल या बड़ा है। उदाहरण के लिए:
(5x^6y^2z^3)^0 = 12,345,678,901^0 = 1
विभाजित करना (जब बड़ा घातांक शीर्ष पर हो)
विभाजित करने के लिए जब आपके अंश और हर में एक ही चर होता है, और बड़ा घातांक शीर्ष पर होता है, पर चर के घातांक के मान की गणना करने के लिए शीर्ष घातांक से नीचे के घातांक को घटाएं ऊपर। फिर, नीचे के चर को हटा दें। अंश की तरह किसी भी गुणांक को कम करें। उदाहरण के लिए:
\frac{3x^6}{6x^2} = \frac{3}{6}x^{(6-2)} = \frac{x^4}{2}
विभाजित करना (जब छोटा घातांक शीर्ष पर हो)
विभाजित करने के लिए जब आपके अंश और हर में एक ही चर होता है, और बड़ा घातांक पर होता है नीचे, नए घातांक मान की गणना करने के लिए नीचे के घातांक से शीर्ष घातांक को घटाएं तल। फिर, अंश से चर को मिटा दें और किसी भी गुणांक जैसे भिन्न को कम करें। यदि शीर्ष पर कोई चर नहीं बचा है, तो 1 छोड़ दें। उदाहरण के लिए:
\frac{5z^2}{15z^7} = \frac{1}{3z^5}
नकारात्मक घातांक
नकारात्मक घातांक को समाप्त करने के लिए, पद को 1 के नीचे रखें और घातांक को बदलें ताकि घातांक धनात्मक हो। उदाहरण के लिए,
x^{-6} = \frac{1}{x^6}
घातांक को धनात्मक बनाने के लिए भिन्नों को ऋणात्मक घातांक के साथ पलटें:
\bigg(\frac{2}{3} \bigg)^{-3} = \bigg(\frac{3}{2}\bigg)^3
जब विभाजन शामिल हो, तो चरों को नीचे से ऊपर की ओर ले जाएं या इसके विपरीत उनके घातांक को सकारात्मक बनाएं। उदाहरण के लिए:
\begin{aligned} 8^{-2}÷2^{-4} &=\bigg(\frac{1}{8^2}\bigg)÷\bigg(\frac{1}{2^4} \bigg) \\ &=\bigg(\frac{1}{64}\bigg)÷\bigg(\frac{1}{16}\bigg) \\ &= \bigg(\frac{1}{64 }\bigg) × (16) \\ &=4 \end{aligned}