एक असमानता क्या है?

जब आप बीजगणित सीखना शुरू करते हैं, तो एक समान चिह्न का उपयोग यह दर्शाने के लिए किया जाता है कि दोनों चीजें एक दूसरे के बराबर हैं। उदाहरण के लिए 3 = 3, 5 = 3 + 2, सेब = सेब, नाशपाती = नाशपाती आदि, जो सभी समीकरणों के उदाहरण हैं। तुलना करके, एक असमानता आपको जानकारी के दो टुकड़े देती है: पहला, कि जिन चीजों की तुलना की जा रही है वे हैंनहींबराबर, या कम से कम हमेशा बराबर नहीं; और दूसरा, वे किस प्रकार असमान हैं।

एक असमानता ठीक उसी तरह लिखी जाती है जैसे आप एक समीकरण लिखते हैं, सिवाय इसके कि आप एक समान चिह्न का उपयोग करने के बजाय, आप असमानता के संकेतों में से एक का उपयोग करते हैं। वे ">" a.k.a. "से अधिक," " और तथाअसमान।

एक असमानता का एक दृश्य प्रतिनिधित्व - यानी, एक ग्राफ - यह देखने का एक और तरीका है कि असमानता का वास्तव में क्या मतलब है। असमानताओं को रेखांकन करना भी कुछ ऐसा है जो आपको गणित की कक्षा में करने के लिए कहा जाएगा। निम्नलिखित समीकरण की कल्पना कीजिए:

यदि आप इसे रेखांकन करना चाहते हैं, तो यह एक विकर्ण रेखा होगी जो सीधे मूल से होकर गुजरती है, ऊपर और दाईं ओर 1 की ढलान के साथ या, यदि आप चाहें, तो 1/1। समीकरण के सभी संभावित समाधान उस रेखा पर और केवल उस रेखा पर होते हैं।

लेकिन क्या हुआ अगर एक समीकरण के बजाय, आपके पास असमानता थी

इस विशेष असमानता के प्रतीक को "इससे कम या इसके बराबर" पढ़ा जाएगा और आपको बताता है किएक्स​ = ​आपएक संभावित समाधान है, हर संयोजन के साथ जहांएक्ससे कम हैआप​.

तो प्रतिनिधित्व करने वाली रेखाएक्स​ = ​आपएक संभावित समाधान बना हुआ है, और आप इसे हमेशा की तरह आकर्षित करेंगे। लेकिन आप रेखा के बाईं ओर के क्षेत्र में भी छायांकित करेंगे, क्योंकि कोई भी मान जहांएक्ससे कम हैआपआपके समाधान में भी शामिल है।

अगर के बजायएक्स​ ≤ ​आपआपके पास सख्त असमानता थीएक्स​ < ​आप, आप इसे ठीक उसी तरह रेखांकन करेंगे जैसेएक्स​ ≤ ​वाई,सिवाय इसके किएक्स​ = ​आपअब कोई विकल्प नहीं है, आप उस रेखा को ठोस रूप से नहीं खींचेंगे। इसके बजाय, आप आकर्षित करेंगेएक्स​ = ​आपएक धराशायी या टूटी हुई रेखा के रूप में, यह दर्शाता है कि हालांकि यह समाधान सेट का हिस्सा नहीं है, फिर भी यह सीमा है वैध समाधान सेट (इस मामले में, आपकी लाइन के बाईं ओर) और दूसरी तरफ गैर-समाधान के बीच रेखा।

अधिकांश भाग के लिए, असमानताओं को हल करना ठीक उसी तरह काम करता है जैसे समीकरणों को हल करना। उदाहरण के लिए, यदि आपका सामना साधारण समीकरण से हुआ था

उत्तर पर पहुंचने के लिए आप दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करेंगेएक्स​ = 3.

आप भी ऐसा ही करेंगे यदि आप, इसके बजाय, असमानता के समान संख्याओं का सामना करते हैं: कहते हैं, 2एक्स≥ 6. आप दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करेंगे और हल पर पहुंचेंगेएक्स३ या, इसे सादे अंग्रेजी में लिखने के लिए,एक्स3 से बड़ी या उसके बराबर सभी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है।

आप किसी असमानता के दोनों ओर संख्याओं को जोड़ और घटा भी सकते हैं, जैसे आप समीकरणों के साथ करते हैं, या दोनों पक्षों पर समान संख्या से विभाजित करते हैं।

लेकिन ध्यान देने योग्य एक अपवाद है: यदि आप किसी असमानता के दोनों पक्षों को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करते हैं, तो आपको असमानता चिह्न की दिशा बदलनी होगी। उदाहरण के लिए, असमानता पर विचार करें -4आप​ > 24.

अलग करने के लिएआप, आपको दोनों पक्षों को -4 से विभाजित करना होगा। असमानता के संकेत की दिशा बदलने के लिए यह आपका ट्रिगर है। तो विभाजित करने के बाद, आपके पास है:

ध्यान दें कि अभी दिए गए असमानता के समाधान के सेट में −7, −8, −7.5, −9.23 और −6 से कम अनंत संख्या में अन्य समाधान शामिल हैं, लेकिन नहीं −6 ही, क्योंकि असमानता चिह्न में "या इसके बराबर" के लिए अतिरिक्त बार नहीं है। तो अपने काम की जांच करने के लिए, सुनिश्चित करें कि आप अपने समाधान से मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं सेट।

यदि आप −6 को मूल असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप −4 × −6 > 24 या 24 > 24 प्राप्त करेंगे, जिसका कोई मतलब नहीं है। न ही यह होना चाहिए, क्योंकि −6 समाधान सेट में शामिल नहीं है। लेकिन अगर आप मूल्यों को प्रतिस्थापित करना शुरू करते हैं किकर रहे हैंसमाधान सेट में शामिल, जैसे −7, आपको मान्य परिणाम प्राप्त होंगे। उदाहरण के लिए:

जो सरल करता है:

जो एक वैध परिणाम है।