द्विघात समीकरणों को लागू करने के लिए स्थितियों के दैनिक उदाहरण

द्विघात समीकरण वास्तव में रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोग किए जाते हैं, जैसे कि क्षेत्रों की गणना करते समय, उत्पाद के लाभ का निर्धारण या किसी वस्तु की गति तैयार करना। द्विघात समीकरण कम से कम एक वर्ग चर वाले समीकरणों को संदर्भित करते हैं, जिसमें सबसे मानक रूप ax² + bx + c = 0 होता है। अक्षर X एक अज्ञात का प्रतिनिधित्व करता है, और a b और c गुणांक हैं जो ज्ञात संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं और अक्षर a शून्य के बराबर नहीं है।

लोगों को अक्सर कमरों, बक्सों या भूमि के भूखंडों के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता होती है। एक उदाहरण में एक आयताकार बॉक्स बनाना शामिल हो सकता है, जहां एक तरफ की लंबाई दूसरी तरफ से दोगुनी होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास बॉक्स के निचले भाग के लिए उपयोग करने के लिए केवल 4 वर्ग फुट की लकड़ी है, तो इस जानकारी के साथ, आप दोनों पक्षों के अनुपात का उपयोग करके बॉक्स के क्षेत्रफल के लिए एक समीकरण बना सकते हैं। इसका मतलब है कि क्षेत्रफल - चौड़ाई की लंबाई का गुणा - x के संदर्भ में x गुणा 2x, या 2x^2 के बराबर होगा। इन बाधाओं का उपयोग करके सफलतापूर्वक एक बॉक्स बनाने के लिए यह समीकरण चार से कम या उसके बराबर होना चाहिए।

कभी-कभी व्यावसायिक लाभ की गणना के लिए द्विघात फलन का उपयोग करना आवश्यक होता है। यदि आप कुछ बेचना चाहते हैं - यहां तक ​​कि नींबू पानी जैसी सरल चीज - तो आपको यह तय करने की आवश्यकता है कि आपको कितनी वस्तुओं का उत्पादन करना है ताकि आप लाभ कमा सकें। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कि आप नींबू पानी के गिलास बेच रहे हैं, और आप 12 गिलास बनाना चाहते हैं। हालांकि, आप जानते हैं कि आप अपनी कीमत कैसे निर्धारित करते हैं, इसके आधार पर आप अलग-अलग संख्या में चश्मे बेचेंगे। $100 प्रति गिलास पर, आपको कोई भी बेचने की संभावना नहीं है, लेकिन $0.01 प्रति गिलास पर, आप शायद एक मिनट से भी कम समय में 12 गिलास बेच देंगे। इसलिए, यह तय करने के लिए कि आपकी कीमत कहाँ निर्धारित की जाए, P को एक चर के रूप में उपयोग करें। आपने अनुमान लगाया है कि नींबू पानी के गिलास की मांग 12 - पी पर होगी। इसलिए, आपका राजस्व, बेचे गए चश्मे की संख्या का मूल्य गुणा होगा: P गुणा 12 घटा P, या 12P - P^2। अपने नींबू पानी के उत्पादन की लागत का उपयोग करके, आप इस समीकरण को उस राशि के बराबर सेट कर सकते हैं और वहां से एक कीमत चुन सकते हैं।

एथलेटिक स्पर्धाओं में जिसमें शॉट पुट, गेंद या भाला फेंकना शामिल होता है, द्विघात समीकरण अत्यधिक उपयोगी हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, आप एक गेंद को हवा में फेंकते हैं और अपने दोस्त से उसे पकड़ने के लिए कहते हैं, लेकिन आप उसे सटीक समय देना चाहते हैं कि गेंद आने में समय लगे। वेग समीकरण का उपयोग करें, जो परवलयिक या द्विघात समीकरण के आधार पर गेंद की ऊंचाई की गणना करता है। गेंद को 3 मीटर पर फेंकना शुरू करें, जहां आपके हाथ हैं। यह भी मान लें कि आप गेंद को 14 मीटर प्रति सेकंड की गति से ऊपर की ओर फेंक सकते हैं, और यह कि पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण गेंद की गति को 5 मीटर प्रति सेकंड वर्ग की दर से कम कर रहा है। इससे, हम समय के लिए चर t का उपयोग करके, h = 3 + 14t - 5t ^ 2 के रूप में ऊँचाई, h की गणना कर सकते हैं। यदि आपके मित्र के हाथ भी 3 मीटर की ऊँचाई पर हैं, तो गेंद को उस तक पहुँचने में कितने सेकंड लगेंगे? इसका उत्तर देने के लिए, समीकरण को 3 = h के बराबर सेट करें और t के लिए हल करें। उत्तर लगभग 2.8 सेकंड है।

गति की गणना में द्विघात समीकरण भी उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, शौकीन चावला नदी के ऊपर और नीचे जाने पर अपनी गति का अनुमान लगाने के लिए द्विघात समीकरणों का उपयोग करते हैं। मान लें कि एक केकर नदी के ऊपर जा रहा है, और नदी 2 किमी प्रति घंटे की गति से चलती है। यदि वह धारा के प्रतिकूल 15 किमी की गति से जाता है और यात्रा में उसे वहां जाने और वापस आने में 3 घंटे लगते हैं, तो याद रखें कि समय = गति से विभाजित दूरी, मान लीजिए v = भूमि के सापेक्ष कश्ती की गति, और मान लीजिए x = कश्ती की गति पानी। धारा के प्रतिकूल यात्रा करते समय, कश्ती की गति v = x - 2 है - नदी के प्रवाह से प्रतिरोध के लिए 2 घटाएं- और अनुप्रवाह में जाने पर कश्ती की गति v = x + 2 है। कुल समय 3 घंटे के बराबर है, जो धारा के प्रतिकूल जाने में लगे समय और धारा के अनुकूल जाने वाले समय के बराबर है, और दोनों दूरी 15 किमी है। हमारे समीकरणों का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि 3 घंटे = 15 / (x - 2) + 15 / (x + 2)। एक बार इसे बीजगणितीय रूप से विस्तारित करने पर, हमें 3x^2 - 30x -12 = 0 प्राप्त होता है। x को हल करते हुए, हम जानते हैं कि कश्ती ने अपनी कश्ती को 10.39 किमी प्रति घंटे की गति से आगे बढ़ाया।