रैखिक असमानताओं को कैसे हल करें

मान लें कि आपको किराने की खरीदारी करनी है और आपके पास बजट है। आप एक बड़े समूह के लिए पास्ता और ब्रेड खरीदना चाहते हैं, लेकिन आप बीस डॉलर से अधिक खर्च नहीं कर सकते। सिद्धांत रूप में, आप केवल ब्रेड खरीद सकते हैं और कोई पास्ता नहीं, या बहुत सारी ब्रेड और पास्ता का केवल एक डिब्बा। आप पास्ता के डिब्बे और ब्रेड की रोटियों के कितने अलग संयोजन खरीद सकते हैं? और आप अपने पैसे के लिए प्रत्येक का अधिकतम लाभ कैसे प्राप्त कर सकते हैं?

इस तरह की समस्याओं को कहा जाता हैरैखिक असमानताएं in: वे समीकरण जिनका ग्राफ एक रेखा है, लेकिन बराबर चिह्न का उपयोग करने के बजाय, वे असमानता प्रतीकों जैसे > या < का उपयोग करते हैं।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

एक रैखिक असमानता को हल करने के लिए, आपको के सभी संयोजनों को खोजना होगाएक्सतथाआपजो असमानता को सच करते हैं। आप बीजगणित या रेखांकन का उपयोग करके रैखिक असमानताओं को हल कर सकते हैं।

​सेवा​ ​एक रैखिक असमानता को हल करें(या कोई समीकरण), आपको के सभी संयोजनों को खोजना होगाएक्सतथाआपजो उस समीकरण को सच करते हैं।

आप रैखिक असमानताओं को बीजगणितीय रूप से हल कर सकते हैं या आप एक ग्राफ (या दोनों!) पर समाधानों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। आइए कुछ उदाहरण समस्याओं पर एक साथ चलें।

यह प्रक्रिया हैलगभगएक रैखिक समीकरण को हल करने के समान, लेकिन एक महत्वपूर्ण अपवाद के साथ। नीचे दी गई समस्या पर एक नज़र डालें।

सबसे पहले, सभी प्राप्त करेंएक्स-es "से अधिक" चिह्न के एक ही तरफ। जोड़नाएक्सदोनों पक्षों को रद्द करने के लिएएक्सदाईं ओर और केवल हैएक्सबाईं तरफ।

अब दोनों पक्षों में छह जोड़ें:

अब तक यह बिल्कुल किसी रेखीय समीकरण की तरह ही रहा है। लेकिन अब हालात बदलने वाले हैं!जब आप किसी असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, तो आपको असमानता के प्रतीक की दिशा बदलनी होगी​.

तो −3 के लिएएक्स> 18, हम दोनों पक्षों को −3 से विभाजित करने जा रहे हैं, और फिर हम > चिह्न को < चिह्न पर फ़्लिप करने जा रहे हैं।

रेखांकन के बारे में कैसे? एक बार फिर, प्रक्रिया वास्तव में रैखिक समीकरणों के समान है, लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर है। चूंकि आपको संकेत करना हैसबके संयोजन केएक्सतथाआपजो असमानता को सही बनाता है, आप हमेशा की तरह रेखा को ग्राफ़ करने जा रहे हैं और फिर आप ग्राफ़ के उस भाग में छायांकित करने जा रहे हैं जो आपको शेष संभावित समाधान देता है।

उदाहरण के लिए, आप असमानता को कैसे रेखांकन करेंगेआप​ < 3​एक्स​ + 6?

सबसे पहले, आप देखेंगे कि असमानता में हैढलान अवरोधन प्रपत्र, जिसका अर्थ है कि हम उपयोग कर सकते हैंआप-इंटरसेप्ट और ढलान लाइन को जल्दी से ग्राफ़ करने के लिए।

आप-इंटरसेप्ट 6 है, इसलिए (0, 6) पर एक बिंदु बनाएं, फिर इस तथ्य का उपयोग करें कि ढलान 3 है, तीन इकाइयों और एक इकाई को दाईं ओर ऊपर जाने के लिए, फिर एक बिंदु बनाएं। आपका बिंदु (1, 9) पर होना चाहिए। एक रेखा को साफ-सुथरा और सुंदर बनाने के लिए, तीन अंक प्राप्त करना अच्छा है, इसलिए (1, 9) से शुरू करके और फिर से एक के ऊपर तीन ऊपर जाकर एक और बिंदु बनाएं। आपको (2, 12) पर एक बिंदु मिलेगा। अब बिन्दुओं को जोड़कर एक रेखा खींचिए।

वाह् भई वाह! आपने अभी-अभी समानता का रेखांकन किया हैआप​ = 3​एक्स+6, लेकिन याद रखें कि मूल समीकरण हैआप​ < 3​एक्स+ 6. ग्राफ के सही हिस्से को छायांकित करने के लिए इस सरल ट्रिक का उपयोग करें:जब असमानता ढलान-अवरोधन रूप में हो, यदि आपके पास हैआपआप>, फिर रेखा के ऊपर की हर चीज़ में छायांकित करें।​

लेकिन सुनिश्चित करने के लिए दोबारा जांच करें! जब आप ग्राफ़ के पूरे भाग में छायांकित करते हैं, तो इसका मतलब है कि इनमें से कोई भी बिंदु समीकरण को सत्य बनाना चाहिए। एक यादृच्छिक बिंदु प्राप्त करें जिसे आपने छायांकित किया है और प्लग करेंएक्सतथाआपमूल असमानता में। अगर यह काम करता है, तो आप जाने के लिए अच्छे हैं। यदि ऐसा नहीं होता है, तो आपको अपने रेखांकन और/या अपने बीजगणित को दोबारा जांचना होगा।

एक अंतिम बात:जब आपके पास > या < होता है, तो ग्राफ़ पर रेखा को बिंदीदार बनाने की आवश्यकता होती है! जब असमानता ≥ या. का उपयोग करती है​ ≤, ​लाइन ठोस होनी चाहिए।इससे पता चलता है कि रेखा के बिंदु स्वयं समाधान में शामिल हैं या नहीं।

रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली को हल करना समीकरणों की प्रणाली को हल करने के समान है।ग्राफ़रैखिक असमानताओं को हल करने का सबसे आसान तरीका है।

रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली को रेखांकन करने के लिए, अपनी पहली असमानता को ग्राफ़ करें जैसे आपने ऊपर किया था और अपनी रेखा के ऊपर या नीचे के क्षेत्रों में छायांकित किया था। फिर दूसरी असमानता का ग्राफ बनाएं। एक बार फिर, आप ग्राफ़ के सभी अनुभागों में छायांकित करने जा रहे हैं जो असमानता को सत्य बनाते हैं। अधिकांश समय, ग्राफ़ पर एक ऐसा क्षेत्र होगा जिसे आपने दो बार छायांकित किया है! यह हैसमाधानअसमानताओं की प्रणाली के लिए, क्योंकि यह हैग्राफ का वह भाग जहाँ दोनों असमानताएँ सत्य हैं​.