एक ज्यामितीय अनुक्रम में, प्रत्येक पद पिछले पद गुणा एक स्थिर, गैर-शून्य गुणक के बराबर होता है जिसे सामान्य कारक कहा जाता है। ज्यामितीय अनुक्रमों में निश्चित संख्या में शब्द हो सकते हैं, या वे अनंत हो सकते हैं। किसी भी मामले में, ज्यामितीय अनुक्रम की शर्तें तेजी से बहुत बड़ी, बहुत नकारात्मक या शून्य के बहुत करीब हो सकती हैं। अंकगणितीय अनुक्रमों की तुलना में, शब्द बहुत तेज़ी से बदलते हैं, लेकिन अनंत अंकगणित होने पर अनुक्रम लगातार बढ़ते या घटते हैं, ज्यामितीय अनुक्रम सामान्य के आधार पर शून्य तक पहुंच सकते हैं कारक।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
एक ज्यामितीय अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची है जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का गुणनफल होता है और एक निश्चित, गैर-शून्य गुणक होता है जिसे सामान्य कारक कहा जाता है। एक ज्यामितीय अनुक्रम का प्रत्येक पद उसके पूर्ववर्ती और उसके बाद के पदों का ज्यामितीय माध्य होता है। +1 और -1 के बीच एक सामान्य कारक के साथ अनंत ज्यामितीय अनुक्रम शून्य की सीमा के रूप में पहुंचते हैं +1 से बड़े या -1 से छोटे एक सामान्य कारक के साथ अनुक्रम जोड़े जाते हैं, प्लस या माइनस पर जाते हैं अनंत
ज्यामितीय अनुक्रम कैसे काम करते हैं
एक ज्यामितीय अनुक्रम इसकी प्रारंभिक संख्या द्वारा परिभाषित किया जाता हैए, सामान्य कारकआरऔर शर्तों की संख्यारों. एक ज्यामितीय अनुक्रम का संगत सामान्य रूप है:
ए, एआर, एआर^2, एआर^3,..., एआर^{एस-1}
टर्म के लिए सामान्य सूत्रनहींएक ज्यामितीय अनुक्रम का (अर्थात, उस अनुक्रम के भीतर कोई भी पद) है:
a_n = ar^{n-1}
पुनरावर्ती सूत्र, जो पिछले पद के संबंध में एक शब्द को परिभाषित करता है, है:
a_n = ra_{n-1}
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 से आरंभिक संख्या 3, उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 और आठ पदों वाले ज्यामितीय अनुक्रम का एक उदाहरण है। ऊपर सूचीबद्ध सामान्य रूप का उपयोग करके अंतिम पद की गणना करना, पद है:
a_8 = 3 × 2^{8-1} = 3 × 2^7 = 3 × 128 = 384
पद 4 के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करना:
a_4 = 3 × 2^{4-1} = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24
यदि आप पद 5 के लिए पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करना चाहते हैं, तो पद 4 = 24, और a,5 बराबर:
a_5= 2 × 24 = 48
ज्यामितीय अनुक्रम गुण
जहाँ तक ज्यामितीय माध्य का संबंध है, ज्यामितीय अनुक्रमों में विशेष गुण होते हैं। दो संख्याओं का ज्यामितीय माध्य उनके गुणनफल का वर्गमूल होता है। उदाहरण के लिए, 5 और 20 का ज्यामितीय माध्य 10 है क्योंकि गुणनफल 5 × 20 = 100 और 100 का वर्गमूल 10 है।
ज्यामितीय अनुक्रमों में, प्रत्येक पद उसके पहले के पद और उसके बाद के पद का ज्यामितीय माध्य होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 3, 6, 12 में... ऊपर, ६, ३ और १२ का ज्यामितीय माध्य है, १२, ६ और २४ का ज्यामितीय माध्य है, और २४, १२ और ४८ का ज्यामितीय माध्य है।
ज्यामितीय अनुक्रमों के अन्य गुण सामान्य कारक पर निर्भर करते हैं। यदि सामान्य कारकआर1 से अधिक है, अनंत ज्यामितीय अनुक्रम सकारात्मक अनंत तक पहुंचेंगे। अगरआर0 और 1 के बीच है, क्रम शून्य के करीब पहुंचेंगे। अगरआरशून्य और -1 के बीच है, अनुक्रम शून्य के करीब पहुंचेंगे, लेकिन शब्द सकारात्मक और नकारात्मक मानों के बीच वैकल्पिक होंगे। अगरआर-1 से कम है, शब्द सकारात्मक और नकारात्मक अनंत दोनों की ओर रुझान करेंगे क्योंकि वे सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के बीच वैकल्पिक होते हैं।
वास्तविक दुनिया की प्रक्रियाओं के वैज्ञानिक और गणितीय मॉडल में ज्यामितीय अनुक्रम और उनके गुण विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। विशिष्ट अनुक्रमों के उपयोग से उन आबादी के अध्ययन में मदद मिल सकती है जो निश्चित अवधि में एक निश्चित दर से बढ़ती हैं या निवेश जो ब्याज अर्जित करते हैं। सामान्य और पुनरावर्ती सूत्र प्रारंभिक बिंदु और सामान्य कारक के आधार पर भविष्य में सटीक मूल्यों की भविष्यवाणी करना संभव बनाते हैं।