इसकी अवधारणाeigenvaluesअस्पष्ट है लेकिन कुछ दिलचस्प समस्याओं का सामना करने वाले गणितज्ञों और भौतिक वैज्ञानिकों के लिए बहुत उपयोगी है।
एक eigenvalue को समझने के लिए, एक फ़ंक्शन होने की कल्पना करें (उदाहरण के लिए,आप = एक्स2 + 6एक्स, याआप= लॉग 4एक्स) कि आप कुछ प्रक्रिया इस तरह से कर सकते हैं कि परिणाम पूरे फ़ंक्शन को एक स्थिर मान से गुणा करने जैसा होगा। ऐसा एक समारोह एक के रूप में योग्य होगाeigenfunction, और स्थिरांक एक eigenvalue होगा।
- "ईजेन" "समान" के लिए जर्मन है।
eigenvalues और eigenfunctions को बेहतर ढंग से समझने के लिए, और eigenvalues की गणना स्वयं करने में सक्षम होने के लिए, आपको मैट्रिक्स की एक बुनियादी समझ की आवश्यकता है। इन गणितीय तरकीबों का उपयोग NO. के बॉन्ड ऑर्डर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है2 (नाइट्रोजन डाइऑक्साइड) और अन्य अणु, क्योंकि परमाणुओं में इलेक्ट्रॉन व्यवहार उन तरंगों द्वारा निर्धारित किया जाता है जो eigenfunctions के रूप में योग्य होते हैं।
एक मैट्रिक्स क्या है?
एक मैट्रिक्स पंक्तियों और स्तंभों में क्रमबद्ध संख्याओं की एक सरणी है, जिसकी संख्या 1 से. तक हो सकती है
नहीं. मैट्रिक्स के आयाम पंक्ति-दर-स्तंभ के रूप में दिए गए हैं; उदाहरण के लिए, निम्नलिखित 2-बाय-3 मैट्रिक्स है:\शुरू {bmatrix} 3 और 0 और 4 \\ 1 और 3 और 5 \\ \end{bmatrix}
मैट्रिक्स को एक साथ जोड़ा जा सकता है यदि वे एक ही आकार के हैं (अर्थात, समान पंक्तियों की संख्या और समान संख्या में कॉलम हैं)। उन्हें समान परिस्थितियों में चरणबद्ध प्रक्रिया द्वारा एक साथ गुणा भी किया जा सकता है। इसके अलावा, किसी भी मैट्रिक्स को एक वेक्टर से गुणा किया जा सकता है, जो कि 1-बाय-नहींयानहीं-बाय-1 मैट्रिक्स; इसमें अन्य वैक्टर शामिल हैं।
एक आइजनवैल्यू समीकरण क्या है?
कहो कि आपके पास एक हैनहीं-द्वारा द्वारा-नहींया "वर्ग" मैट्रिक्सए, एक शून्येतरनहीं-बाय-1 वेक्टरवी, और एक अदिशλ, जैसे कि निम्नलिखित समीकरण संतुष्ट है:
\बोल्ड{एवी} = λ\बोल्ड{वी}
value का कोई भी मूल्यλजिसके लिए इस समीकरण का एक हल आव्यूह का eigenvalue कहलाता हैए.
अपने दिमाग को उपरोक्त भावों को उत्पाद के रूप में न मानने दें।एहै एकऑपरेटरपर, या वेक्टर का एक रैखिक परिवर्तन linearवी, यह गणना केवल इसलिए संभव हो रही है क्योंकिएतथावीदोनों केनहींपंक्तियाँ।
Eigenvalue फ़ंक्शंस का उपयोग क्यों करें?
व्युत्पत्ति जटिल है, लेकिन परमाणु रसायन विज्ञान में, हैमिल्टनियन ऑपरेटर "एच-बार" का उपयोग एक प्रणाली की गतिज और संभावित ऊर्जा को व्यक्त करने के लिए किया जाता है:
\hat H=−\dfrac{ℏ}{2m}∇^2+\hat V(x, y, z)
इसका उपयोग का एक रूप लिखने के लिए किया जाता हैश्रोडिंगर वेवफंक्शन समीकरणक्वांटम यांत्रिकी में:
\hat Hψ(x, y, z)=Eψ(x, y, z)
यहाँइइस समीकरण को संतुष्ट करने वाले eigenvalues का प्रतिनिधित्व करता है।
मैट्रिक्स के आइजनवैल्यू को खोजने के तरीके
समीकरण Av = v से, आप प्राप्त करते हैंए वी − λवी=0. इससे ये होता है:
\बोल्ड{ए वी} - λ(\bold{I v})=0
कहा पेमैंकी पंक्तियों के साथ 2-बाय-2 पहचान मैट्रिक्स है [λ०] और [०λ], अदिश से गुणा करने पर 1 हो जाता हैλ. यह परिणाम देता है:
(\bold{A} - λ\bold{I})\bold{v} = 0
कौन सा अगरवीशून्येतर है, केवल एक समाधान है यदि का निरपेक्ष मानए− λमैं, या |ए − λमैं|, शून्य है। यदि आप इन्हें हाथ से करते हैं, तो इसमें द्विघात समीकरण को हल करना शामिल है और यह थकाऊ हो सकता है।
दो मैट्रिक्स को एक साथ गुणा करने के लिए, उत्पाद मैट्रिक्स में प्रत्येक बिंदु के लिए, आप संबंधित बिंदुओं को एक साथ गुणा करते हैं और इसे पंक्ति और स्तंभ में शेष पंक्ति और स्तंभ तत्वों के उत्पादों में जोड़ें जिससे नया बिंदु संबंधित है।
दो 2-बाय-2 मैट्रिसेस को गुणा करने परएतथाखएक साथ, यदि. की पहली पंक्तिएहै [१ ३] और. का पहला स्तंभख[२ ५] है, नए मैट्रिक्स के पहले कॉलम और पंक्ति में संख्या [(१ × २) +(३ × ५)] = १५ होगी, और इसी तरह अन्य तीन बिंदुओं के लिए।
ऑनलाइन eigenvalues की गणना करें
संसाधनों में, आपको एक मैट्रिक्स गणना उपकरण मिलेगा जो आपको लगभग किसी भी बोधगम्य आकार के मैट्रिक्स के लिए eigenvalues और अधिक खोजने की अनुमति देता है।