एक परिमेय फलन के ग्राफ़ में एक लंबवत स्पर्शोन्मुख और एक छेद के बीच अंतर कैसे पता करें

विश्लेषणात्मक रूप से दिखाने के लिए हम दिए गए परिमेय फलन का उदाहरण के रूप में उपयोग करेंगे, उस फलन के ग्राफ़ में एक लंबवत अनंतस्पर्शी और एक छेद कैसे खोजें। परिमेय कार्य होने दें,... f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6)।

f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6) के हर का गुणनखंडन करना। हमें निम्नलिखित समतुल्य फलन मिलता है, f (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)]। अब यदि हर (x-2)(x-3) = 0 है, तो परिमेय फलन अपरिभाषित होगा, अर्थात शून्य (0) से भाग देने की स्थिति। कृपया इसी लेखक, Z-MATH द्वारा लिखित लेख 'हाउ टू डिवाइड बाय जीरो (0)' देखें।

हम देखेंगे कि शून्य से भाग अपरिभाषित है, यदि परिमेय व्यंजक में एक ऐसा अंश है जो शून्य (0) के बराबर नहीं है, और भाजक शून्य (0) के बराबर है, इस मामले में फ़ंक्शन का ग्राफ़ x के मान पर धनात्मक या ऋणात्मक अनंत की ओर बिना किसी सीमा के जाएगा, जिसके कारण भाजक व्यंजक शून्य के बराबर हो जाता है। यह इस x पर है कि हम एक लंबवत रेखा खींचते हैं, जिसे लंबवत स्पर्शोन्मुख कहा जाता है।

अब यदि परिमेय व्यंजक के अंश और हर दोनों शून्य (0) हैं, तो x के समान मान के लिए, x के इस मान पर शून्य से विभाजन को 'अर्थहीन' या अनिर्धारित कहा जाता है, और हमारे पास इस मान पर ग्राफ़ में एक छेद है एक्स का।

तो, परिमेय फलन f (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)] में, हम देखते हैं कि x=2 या x=3 पर, हर शून्य के बराबर है (0 ) लेकिन x=3 पर, हम देखते हैं कि अंश ( 1 ) के बराबर है, यानी f (3) = 1/0, इसलिए x = 3 पर एक लंबवत अनंतस्पर्शी है। लेकिन x=2 पर, हमारे पास f (2) = 0/0, 'अर्थहीन' है। ग्राफ में x = 2 पर एक छेद है।

हम f (x) के समतुल्य परिमेय फलन को खोज कर होल के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं, जिसमें x=2 के बिंदु को छोड़कर f (x) के सभी बिंदु समान हैं। अर्थात्, मान लीजिए g (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)], x 2, इसलिए निम्नतम पदों को घटाकर हमारे पास g (x) = 1/(x- 3))। इस फलन में x=2 रखने पर हमें g (2) = 1/(2-3) = 1/(-1) = -1 प्राप्त होता है। तो f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6) के ग्राफ में छेद (2,-1) पर है।

• कागज और
• पेंसिल।