एक बहुपद के मूल इसके शून्यक भी कहलाते हैं, क्योंकि मूल हैंएक्सवे मान जिन पर फ़ंक्शन शून्य के बराबर होता है। जब वास्तव में जड़ों को खोजने की बात आती है, तो आपके पास अपने निपटान में कई तकनीकें होती हैं; फैक्टरिंग वह तरीका है जिसका आप सबसे अधिक बार उपयोग करेंगे, हालांकि रेखांकन भी उपयोगी हो सकता है।
कितनी जड़ें?
बहुपद के उच्चतम-डिग्री वाले पद का परीक्षण करें - अर्थात, उच्चतम घातांक वाला पद। वह घातांक है कि बहुपद के कितने मूल होंगे। इसलिए यदि आपके बहुपद में उच्चतम घातांक 2 है, तो इसके दो मूल होंगे; यदि उच्चतम घातांक 3 है, तो उसके तीन मूल होंगे; और इसी तरह।
चेतावनी
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एक पकड़ है: बहुपद की जड़ें वास्तविक या काल्पनिक हो सकती हैं। "रियल" रूट सेट के सदस्य होते हैं जिन्हें वास्तविक संख्या के रूप में जाना जाता है, जो इस बिंदु पर आपके गणित करियर में वह प्रत्येक संख्या है जिसका आप उपयोग करते हैं। काल्पनिक संख्याओं में महारत हासिल करना एक पूरी तरह से अलग विषय है, इसलिए अभी के लिए, केवल तीन बातें याद रखें:
- जब आपके पास ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल होता है, तो "काल्पनिक" जड़ें निकलती हैं। उदाहरण के लिए, (-9)।
- काल्पनिक जड़ें हमेशा जोड़े में आती हैं।
- बहुपद के मूल वास्तविक या काल्पनिक हो सकते हैं। इसलिए यदि आपके पास 5वीं डिग्री का बहुपद है तो इसकी पांच वास्तविक जड़ें हो सकती हैं, इसकी तीन वास्तविक जड़ें और दो काल्पनिक जड़ें हो सकती हैं, और इसी तरह।
गुणनखंड द्वारा मूल ज्ञात कीजिए: उदाहरण 1
जड़ों को खोजने का सबसे बहुमुखी तरीका जितना संभव हो सके अपने बहुपद को फैक्टर करना है, और फिर प्रत्येक शब्द को शून्य के बराबर सेट करना है। कुछ उदाहरणों का अनुसरण करने के बाद यह बहुत अधिक समझ में आता है। सरल बहुपद पर विचार करेंएक्स2 – 4एक्स:
एक संक्षिप्त परीक्षा से पता चलता है कि आप कारक हो सकते हैंएक्सबहुपद के दोनों पदों में से, जो आपको देता है:
एक्स (एक्स - 4)
प्रत्येक पद को शून्य पर सेट करें। इसका मतलब है कि दो समीकरणों को हल करना:
एक्स = 0
पहला पद शून्य पर सेट है, और
एक्स - 4 = 0
दूसरा टर्म शून्य पर सेट है।
आपके पास पहले कार्यकाल का हल पहले से ही है। अगरएक्स= 0, तो संपूर्ण व्यंजक शून्य के बराबर होता है। इसलिएएक्स= 0 बहुपद के मूल या शून्यकों में से एक है।
अब, दूसरे पद पर विचार करें और इसके लिए हल करेंएक्स. यदि आप दोनों पक्षों में 4 जोड़ते हैं तो आपके पास होगा:
एक्स - 4 + 4 = 0 + 4
जो सरल करता है:
एक्स = 4
तो अगरएक्स= 4 तो दूसरा गुणनखंड शून्य के बराबर होता है, जिसका अर्थ है कि पूरा बहुपद भी शून्य के बराबर होता है।
क्योंकि मूल बहुपद दूसरी डिग्री का था (उच्चतम घातांक दो था), आप जानते हैं कि इस बहुपद के लिए केवल दो संभावित मूल हैं। आप उन दोनों को पहले ही ढूंढ चुके हैं, इसलिए आपको बस उन्हें सूचीबद्ध करना है:
एक्स = 0, एक्स = 4
गुणनखंड द्वारा मूल ज्ञात कीजिए: उदाहरण 2
रास्ते में कुछ फैंसी बीजगणित का उपयोग करके फैक्टरिंग द्वारा जड़ों को खोजने का एक और उदाहरण यहां दिया गया है। बहुपद पर विचार करेंएक्स4 – 16. इसके घातांक पर एक त्वरित नज़र डालने से आपको पता चलता है कि इस बहुपद के लिए चार मूल होने चाहिए; अब उन्हें खोजने का समय आ गया है।
क्या आपने देखा कि इस बहुपद को वर्गों के अंतर के रूप में फिर से लिखा जा सकता है? तो इसके बजाय insteadएक्स4 - 16, आपके पास है:
(x^2)^2 - 4^2
जो, वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित के कारक हैं:
(x^2 - 4)(x^2 + 4)
पहला पद, फिर से, वर्गों का अंतर है। इसलिए यद्यपि आप दाईं ओर के शब्द को और अधिक कारक नहीं बना सकते हैं, आप बाईं ओर के शब्द को एक कदम और बढ़ा सकते हैं:
(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
अब शून्य खोजने का समय आ गया है। यह शीघ्र ही स्पष्ट हो जाता है कि यदिएक्स= 2, पहला गुणनखंड शून्य के बराबर होगा, और इस प्रकार संपूर्ण व्यंजक शून्य के बराबर होगा।
इसी प्रकार, यदिएक्स= −2, दूसरा गुणनखंड शून्य के बराबर होगा और इस प्रकार संपूर्ण व्यंजक होगा।
इसलिएएक्स= 2 औरएक्स= −2 इस बहुपद के शून्यक या मूल दोनों हैं।
लेकिन उस आखिरी कार्यकाल का क्या? चूंकि इसमें "2" घातांक है, इसलिए इसकी दो जड़ें होनी चाहिए। लेकिन आप उन वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके इस व्यंजक को गुणनखंड नहीं कर सकते हैं जिनका आप उपयोग कर रहे हैं। आपको एक बहुत ही उन्नत गणितीय अवधारणा का उपयोग करना होगा जिसे काल्पनिक संख्याएँ कहा जाता है या, यदि आप चाहें, तो जटिल संख्याएँ। यह आपके वर्तमान गणित अभ्यास के दायरे से बहुत दूर है, इसलिए अभी के लिए यह नोट करना पर्याप्त है कि आपके पास दो वास्तविक जड़ें (2 और −2) हैं, और दो काल्पनिक जड़ें हैं जिन्हें आप अपरिभाषित छोड़ देंगे।
रेखांकन द्वारा जड़ें खोजें
आप रेखांकन द्वारा जड़ों का पता लगा सकते हैं या कम से कम अनुमान लगा सकते हैं। प्रत्येक रूट एक ऐसे स्थान का प्रतिनिधित्व करता है जहां फ़ंक्शन का ग्राफ़. को पार करता हैएक्सएक्सिस। इसलिए यदि आप रेखा को रेखांकन करते हैं और फिर नोट करते हैंएक्सनिर्देशांक जहां रेखा को पार करती हैएक्सअक्ष, आप अनुमानित सम्मिलित कर सकते हैंएक्सअपने समीकरण में उन बिंदुओं के मान और यह देखने के लिए जांचें कि क्या आपने उन्हें सही पाया है।
बहुपद के लिए आपके द्वारा काम किए गए पहले उदाहरण पर विचार करेंएक्स2 – 4एक्स. यदि आप इसे ध्यान से खींचते हैं, तो आप देखेंगे कि रेखा रेखा को पार करती हैएक्सअक्ष परएक्स= 0 औरएक्स= 4. यदि आप इनमें से प्रत्येक मान को मूल समीकरण में इनपुट करते हैं, तो आप प्राप्त करेंगे:
0^2 - 4(0) = 0
तोह फिरएक्स= 0 इस बहुपद के लिए एक मान्य शून्य या मूल था।
4^2 - 4(4) = 0
तोह फिरएक्स= 4 भी इस बहुपद के लिए एक मान्य शून्य या मूल है। और चूँकि बहुपद घात 2 का था, आप जानते हैं कि आप दो मूल ढूँढ़ना बंद कर सकते हैं।