बीजीय समीकरणों के गुण

समीकरण सत्य हैं यदि दोनों पक्ष समान हैं। समीकरणों के गुण विभिन्न अवधारणाओं का वर्णन करते हैं जो एक समीकरण के दोनों पक्षों को समान रखते हैं, चाहे आप जोड़ रहे हों, घटा रहे हों, गुणा कर रहे हों या विभाजित कर रहे हों। बीजगणित में, अक्षर उन संख्याओं के लिए होते हैं जिन्हें आप नहीं जानते हैं, और गुणों को अक्षरों में यह साबित करने के लिए लिखा जाता है कि आप उनमें जो भी संख्याएँ डालते हैं, वे हमेशा सत्य साबित होंगी। आप इन गुणों को "बीजगणित नियम" के रूप में सोच सकते हैं जिनका उपयोग आप गणित की समस्याओं को हल करने में मदद के लिए कर सकते हैं।

साहचर्य और कम्यूटेटिव गुण दोनों में जोड़ और गुणा के सूत्र हैं।जोड़ की क्रमविनिमेय संपत्तिकहता है कि यदि आप दो संख्याओं को जोड़ते हैं, तो इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि आप उन्हें किस क्रम में रखते हैं। उदाहरण के लिए, 4 + 5, 5 + 4 के समान है। सूत्र है:

कोई भी नंबर जिसके लिए आप प्लग इन करते हैंएतथाखअभी भी संपत्ति को सच कर देगा।

गुणन का क्रमविनिमेय गुणसूत्र पढ़ता है

इसका मतलब है कि दो संख्याओं को गुणा करते समय, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि आप पहले कौन सी संख्या टाइप करते हैं। यदि आप 2 × 5 या 5 × 2 को गुणा करते हैं तो भी आपको 10 मिलेगा।

जोड़ की साहचर्य संपत्तिकहता है कि यदि आप दो संख्याओं को समूहबद्ध करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं, और फिर तीसरी संख्या जोड़ते हैं, तो इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि आप किस समूह का उपयोग करते हैं। सूत्र रूप में, ऐसा दिखता है

उदाहरण के लिए

इसी तरह, यदि आप दो संख्याओं को गुणा करते हैं और फिर उस गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करते हैं, तो इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि आप पहले किन दो संख्याओं को गुणा करते हैं। सूत्र रूप में,गुणन की साहचर्य संपत्तिकी तरह लगता है

उदाहरण के लिए, (2 × 3)4 6 × 4 का सरलीकरण करता है, जो 24 के बराबर होता है। अगर आप 2(3×4) को ग्रुप करते हैं तो आपके पास 2×12 होगा, और इससे आपको 24 भी मिलेंगे।

सकर्मक संपत्तिकहते हैं कि अगरए​ = ​खतथाख​ = ​सी, तब फिरए​ = ​सी. इस गुण का प्रयोग अक्सर बीजीय प्रतिस्थापन में किया जाता है। उदाहरण के लिए,

यदि आप जानते हैं कि ये दो मान एक दूसरे के बराबर हैं, तो आप के लिए हल कर सकते हैंएक्स. एक बार जब आप जानते हैंएक्स, आप के लिए हल कर सकते हैंआपयदि आवश्यक है।

वितरण की जाने वाली संपत्तिआपको कोष्ठक से छुटकारा पाने की अनुमति देता है यदि उनके बाहर कोई शब्द है, जैसे 2(एक्स− 4). गणित में कोष्ठक गुणा का संकेत देते हैं, और कुछ वितरित करने का अर्थ है कि आप इसे पास कर देते हैं। इसलिए, कोष्ठकों को समाप्त करने के लिए वितरण गुण का उपयोग करने के लिए, उनके बाहर के पद को गुणा करेंप्रत्येकउनके अंदर शब्द। तो, आप 2 से गुणा करेंगे औरएक्स2. प्राप्त करने के लिएएक्स, और आप −8 प्राप्त करने के लिए 2 और −4 को गुणा करेंगे। सरलीकृत, ऐसा दिखता है:

वितरण संपत्ति का सूत्र है

आप किसी व्यंजक से एक उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने के लिए वितरण गुण का भी उपयोग कर सकते हैं। यह सूत्र है

उदाहरण के लिए, व्यंजक 3. मेंएक्स+9, दोनों पद 3 से विभाज्य हैं। गुणनखंड को कोष्ठक के बाहर की ओर खींचें और शेष को अंदर छोड़ दें: 3(एक्स​ + 3).

योगात्मक प्रतिलोम गुणकहता है कि यदि आप इसके प्रतिलोम, या ऋणात्मक संस्करण के साथ एक संख्या जोड़ते हैं, तो आपको शून्य मिलेगा। उदाहरण के लिए, -5 + 5 = 0। एक वास्तविक दुनिया के उदाहरण में, यदि आप पर किसी का $5 बकाया है, और फिर आपको $5 प्राप्त होता है, तो भी आपके पास कोई पैसा नहीं होगा क्योंकि आपको ऋण चुकाने के लिए वह $5 देना होगा। सूत्र है

गुणन प्रतिलोम गुणकहता है कि यदि आप किसी संख्या को अंश से एक से गुणा करते हैं और उस संख्या को हर में से गुणा करते हैं, तो आपको एक प्राप्त होगा:

यदि आप 2 को 1/2 से गुणा करते हैं, तो आपको 2/2 मिलेगा। कोई भी संख्या अपने आप में हमेशा 1 होती है।

​निषेध के गुणऋणात्मक संख्याओं के गुणन को निर्देशित करें। यदि आप एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या को गुणा करते हैं, तो आपका उत्तर ऋणात्मक होगा:

यदि आप दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो आपका उत्तर सकारात्मक होगा:

यदि आपके पास कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक है, तो वह ऋणात्मक एक अदृश्य 1 से जुड़ा हुआ है। वह -1 कोष्ठक के अंदर प्रत्येक पद में वितरित किया जाता है। सूत्र है

उदाहरण के लिए

क्योंकि −1 और −3 को गुणा करने पर आपको 3 मिलेगा।

अतिरिक्त की पहचान संपत्तिकहता है कि यदि आप कोई संख्या और शून्य जोड़ते हैं, तो आपको मूल संख्या प्राप्त होगी:

उदाहरण के लिए,

शून्य का गुणनात्मक गुणकहता है कि जब आप किसी संख्या को शून्य से गुणा करते हैं, तो आपको हमेशा शून्य प्राप्त होगा:

उदाहरण के लिए

का उपयोग करते हुएशून्य उत्पाद संपत्ति,आप निश्चित रूप से जान सकते हैं कि यदि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य है, तो गुणकों में से एक शून्य है। सूत्र बताता है कि

समानता के गुण बताते हैं कि आप समीकरण के एक पक्ष के साथ क्या करते हैं, आपको दूसरे पक्ष के साथ करना चाहिए।समानता की अतिरिक्त संपत्तिकहता है कि यदि आपके पास एक तरफ संख्या है, तो आपको इसे दूसरे में जोड़ना होगा। उदाहरण के लिए,

समानता की घटाव संपत्तिकहता है कि यदि आप किसी संख्या को एक तरफ से घटाते हैं, तो आपको उसे दूसरी तरफ से घटाना होगा। उदाहरण के लिए,

यह आपको देगा

तथाएक्सदोनों समीकरणों में 5 के बराबर होगा।

समानता का गुणन गुणकहता है कि यदि आप किसी संख्या को एक तरफ से गुणा करते हैं, तो आपको उसे दूसरी तरफ से गुणा करना होगा। यह संपत्ति आपको विभाजन समीकरणों को हल करने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, यदि

प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 4 से गुणा करेंएक्स​ = 8.

समानता की विभाजन संपत्तिआपको गुणन समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है क्योंकि आप जो एक तरफ विभाजित करते हैं, आपको दूसरी तरफ विभाजित करना होगा। उदाहरण के लिए, विभाजित करें

दोनों तरफ से 2 से, उपज देने वाला