त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक विमान के समीकरण को बीजीय संकेतन में ax + by + cz = d के रूप में लिखा जा सकता है, जहां कम से कम एक वास्तविक संख्या स्थिरांक "ए," "बी," और "सी" शून्य नहीं होना चाहिए, और "एक्स", "वाई" और "जेड" त्रि-आयामी के अक्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं विमान। यदि तीन बिंदु दिए गए हैं, तो आप वेक्टर क्रॉस उत्पादों का उपयोग करके विमान का निर्धारण कर सकते हैं। एक वेक्टर अंतरिक्ष में एक रेखा है। एक क्रॉस उत्पाद दो वैक्टरों का गुणन है।
विमान पर तीन अंक प्राप्त करें। उन्हें "ए," "बी" और "सी" लेबल करें। उदाहरण के लिए, मान लें कि ये बिंदु A = (3, 1, 1) हैं; बी = (1, 4, 2); और सी = (1, 3, 4)।
विमान पर दो अलग-अलग वैक्टर खोजें। उदाहरण में, सदिश AB और AC चुनें। सदिश AB बिंदु-A से बिंदु-B तक जाता है, और वेक्टर AC बिंदु-A से बिंदु-C तक जाता है। इसलिए सदिश AB: (-2, 3, 1) प्राप्त करने के लिए बिंदु-B में प्रत्येक निर्देशांक से बिंदु-A में प्रत्येक निर्देशांक घटाएं। इसी प्रकार, सदिश AC बिंदु-C ऋण बिंदु-A, या (-2, 2, 3) है।
एक नया वेक्टर प्राप्त करने के लिए दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की गणना करें, जो दो वैक्टरों में से प्रत्येक के लिए सामान्य (या लंबवत या ऑर्थोगोनल) और विमान के लिए भी है। दो वैक्टर, (a1, a2, a3) और (b1, b2, b3) का क्रॉस उत्पाद N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1) द्वारा दिया जाता है। उदाहरण में, AB और AC का क्रॉस उत्पाद, N है i[(3 x 3) - (1 x 2)] + j[(1 x -2) - (-2 x 3)] + k[( -2 x 2) - (3x - 2)], जो N = 7i + 4j + 2k को सरल करता है। ध्यान दें कि वेक्टर निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए "i," "j" और "k" का उपयोग किया जाता है।
समतल का समीकरण व्युत्पन्न कीजिए। समतल का समीकरण Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0 है, जहाँ (a1, a2, a3) तल का कोई भी बिंदु है और (Ni, Nj, Nk ) सामान्य वेक्टर है, एन। उदाहरण में, बिंदु C का उपयोग करते हुए, जो कि (1, 3, 4) है, समतल का समीकरण 7(x - 1) + 4(y - 3) + 2(z - 4) = 0 है, जो इसे सरल करता है 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, या 7x + 4y + 2z = 27।
अपना उत्तर सत्यापित करें। यह देखने के लिए कि क्या वे समतल के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, मूल बिंदुओं को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण को समाप्त करने के लिए, यदि आप तीन बिंदुओं में से किसी एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप देखेंगे कि समतल का समीकरण वास्तव में संतुष्ट है।
टिप्स
एक समतल के समीकरण को खोजने के लिए तीन समकालिक समीकरणों के सिस्टम का उपयोग कैसे करें, इस पर युक्तियों के लिए संसाधन देखें।
