जब आप पहली बार फ़ंक्शंस के बारे में सीखना शुरू करते हैं, तो आपको उन्हें एक मशीन के रूप में मानना पड़ सकता है: आप एक मान इनपुट करते हैं,एक्स, फ़ंक्शन में, और एक बार इसे मशीन के माध्यम से संसाधित करने के बाद, एक और मान - चलो इसे कहते हैंआप- दूर के छोर से बाहर निकलता है। संभव की सीमाएक्सइनपुट जो मशीन के माध्यम से एक वैध आउटपुट वापस करने के लिए आ सकते हैं, उन्हें फ़ंक्शन का डोमेन कहा जाता है। इसलिए यदि आपको किसी फ़ंक्शन का डोमेन खोजने के लिए कहा जाता है, तो आपको वास्तव में यह पता लगाना होगा कि कौन से संभावित इनपुट एक वैध आउटपुट लौटाएंगे।
डोमेन खोजने की रणनीति
यदि आप केवल फ़ंक्शन और डोमेन के बारे में सीख रहे हैं, तो आमतौर पर यह माना जाता है कि फ़ंक्शन का डोमेन "सभी वास्तविक संख्याएं" है। तो जब आप डोमेन को परिभाषित करने के बारे में सेट करें, गणित के अपने ज्ञान का उपयोग करना अक्सर आसान होता है - विशेष रूप से बीजगणित - यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा नंबरनहीं कर रहे हैंडोमेन के वैध सदस्य। इसलिए जब आप "डोमेन ढूंढें" निर्देश देखते हैं, तो उन्हें अपने दिमाग में पढ़ना अक्सर आसान होता है जैसे "किसी भी संख्या को ढूंढें और समाप्त करें"नहीं कर सकते हैंडोमेन में हो।"
ज्यादातर मामलों में, यह संभावित इनपुट की जांच (और समाप्त) करने के लिए उबाल जाता है जिससे भिन्न अपरिभाषित हो जाएंगे, या उनके हर में 0 है, और संभावित इनपुट की तलाश में है जो आपको एक वर्गमूल के नीचे नकारात्मक संख्याएं देगा संकेत।
डोमेन खोजने का एक उदाहरण
समारोह पर विचार करें
f (x) = \frac{3}{x - 2}
जिसका वास्तव में मतलब है कि आपके द्वारा इनपुट की गई कोई भी संख्या. के स्थान पर बंद हो जाएगीएक्ससमीकरण के दाईं ओर। उदाहरण के लिए, यदि आपने गणना की हैएफ(४) आपके पास होगा
च (4) = \frac{3}{4 - 2}
जो 3/2 तक काम करता है।
लेकिन क्या होगा अगर आपने गणना कीएफ(२) या, दूसरे शब्दों में, के स्थान पर इनपुट २एक्स? तब आपके पास होगा
f (2) = \frac{3}{2 - 2}
जो 3/0 को सरल करता है, जो एक अपरिभाषित अंश है।
यह दो सामान्य उदाहरणों में से एक को दिखाता है जो किसी फ़ंक्शन के डोमेन से किसी संख्या को बाहर कर सकता है। यदि कोई अंश शामिल है, और इनपुट के कारण उस अंश का हर शून्य हो जाएगा, तो इनपुट को फ़ंक्शन के डोमेन से बाहर रखा जाना चाहिए।
एक छोटी सी परीक्षा आपको दिखाएगी कि बिल्कुल कोई भी संख्याके सिवाय2 प्रश्न में फ़ंक्शन के लिए एक वैध (यदि कभी-कभी गन्दा) परिणाम लौटाएगा, इसलिए इस फ़ंक्शन का डोमेन 2 को छोड़कर सभी संख्याएं हैं।
डोमेन खोजने का एक और उदाहरण
एक अन्य सामान्य उदाहरण है जो किसी फ़ंक्शन के डोमेन के संभावित सदस्यों को रद्द कर देगा: एक वर्गमूल चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक मात्रा, या एक सम सूचकांक के साथ कोई भी मूलांक होना। उदाहरण समारोह पर विचार करें
एफ (एक्स) = \sqrt{5 - x}
अगरएक्स५, तो मूल चिह्न के नीचे की मात्रा या तो ० या सकारात्मक होगी, और एक वैध परिणाम लौटाएगा। उदाहरण के लिए, यदिएक्स= ४.५ आपके पास होगा
f (4.5) = \sqrt{5 - 4.5} = \sqrt{0.5}
जो गन्दा होने पर भी एक वैध परिणाम देता है। और अगरएक्स= -10 आपके पास होगा
f(-10) = \sqrt{5 - (-10)} = \sqrt{5 + 10} = \sqrt{15}
जो, फिर से, एक वैध अगर गन्दा परिणाम देता है।
लेकिन कल्पना कीजिए किएक्स= 5.1. जिस क्षण आप 5 और उससे बड़ी किसी भी संख्या के बीच की विभाजन रेखा को पार करते हैं, आप रेडिकल के नीचे एक ऋणात्मक संख्या के साथ समाप्त होते हैं:
f (5.1) = \sqrt{5 - 5.1} = \sqrt{-0.1}
अपने गणित करियर में बहुत बाद में, आप काल्पनिक संख्या या सम्मिश्र संख्या नामक अवधारणा का उपयोग करके ऋणात्मक वर्गमूलों को समझना सीखेंगे। लेकिन अभी के लिए, रेडिकल साइन के नीचे एक ऋणात्मक संख्या होने से उस इनपुट को फ़ंक्शन के डोमेन के वैध सदस्य के रूप में बाहर कर दिया जाता है।
तो, इस मामले में, क्योंकि कोई संख्याएक्स5 इस फ़ंक्शन और किसी भी संख्या के लिए एक मान्य परिणाम देता हैएक्स> 5 एक अमान्य परिणाम देता है, फ़ंक्शन का डोमेन सभी नंबर हैएक्स ≤ 5.