डेरिवेटिव कैसे खोजें

कैलकुलस में आपके द्वारा किए जाने वाले महत्वपूर्ण कार्यों में से एक डेरिवेटिव ढूंढ रहा है। किसी फलन के अवकलज को उस फलन के परिवर्तन की दर भी कहते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x (t) किसी भी समय t पर कार की स्थिति है, तो x का अवकलज, जिसे dx/dt लिखा जाता है, कार का वेग है। इसके अलावा, व्युत्पन्न को किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान के रूप में देखा जा सकता है। सैद्धांतिक स्तर पर, गणितज्ञ इस तरह से व्युत्पन्न पाते हैं। व्यवहार में, गणितज्ञ बुनियादी नियमों और लुकअप टेबल के सेट का उपयोग करते हैं।

दो बिंदुओं के बीच एक रेखा का ढलान वृद्धि, या रन द्वारा विभाजित y मानों में अंतर या x मानों में अंतर है। x के एक निश्चित मान के लिए फ़ंक्शन y (x) की ढलान को उस रेखा की ढलान के रूप में परिभाषित किया जाता है जो बिंदु [x, y (x)] पर फ़ंक्शन के स्पर्शरेखा है। ढलान की गणना करने के लिए आप बिंदु [x, y (x)] और एक नजदीकी बिंदु [x+h, y (x+h)] के बीच एक रेखा बनाते हैं, जहां h एक बहुत छोटी संख्या है। इस लाइन के लिए, x मान में रन, या परिवर्तन h है, और y मान में वृद्धि या परिवर्तन, y (x+h) - y (x) है। नतीजतन, बिंदु [x, y (x)] पर y (x) का ढलान लगभग [y (x+h) - y (x)]/[(x + h) - x] = [y ( एक्स + एच) - वाई (एक्स)]/एच। ढलान को ठीक से प्राप्त करने के लिए, आप ढलान के मूल्य की गणना करते हैं क्योंकि h छोटा और छोटा हो जाता है, "सीमा" तक जहां यह शून्य हो जाता है। इस तरह से गणना की गई ढलान y (x) का व्युत्पन्न है, जिसे y'(x) या dy/dx के रूप में लिखा जाता है।

आप फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए ढलान/सीमा विधि का उपयोग कर सकते हैं जहां y x की शक्ति के बराबर होता है, या y (x) = x^a। उदाहरण के लिए, यदि y x घन के बराबर है, y (x) = x^3, तो dy/dx वह सीमा है, जब h [(x + h)^3 - x^3]/h के शून्य पर जाता है। विस्तार करने पर (x+h)^3 [x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3]/h देता है, जो आपके विभाजित करने के बाद 3x^2 + 3xh^2 + h^2 तक कम हो जाता है एच द्वारा सीमा में जैसे ही h शून्य हो जाता है, सभी पद जिनमें h होता है, वे भी शून्य हो जाते हैं। तो, y'(x) = dy/dx = 3x^2। आप इसे 3 के अलावा अन्य के मानों के लिए कर सकते हैं, और सामान्य तौर पर, आप यह दिखा सकते हैं कि d/dx (x^a) = (a-1)x^(a-1)।

कई कार्यों को एक शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि अनंत संख्या के पदों का योग है, जहां प्रत्येक C(n) x^n के रूप का है, जहाँ x एक चर है, n एक पूर्णांक है और C(n) के प्रत्येक मान के लिए एक विशिष्ट संख्या है एन उदाहरण के लिए, साइन फ़ंक्शन के लिए शक्ति श्रृंखला पाप (x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 +... है, जहां "..." का अर्थ है जारी रहना अनन्त तक। यदि आप किसी फ़ंक्शन के लिए शक्ति श्रृंखला जानते हैं, तो आप फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए x^n शक्ति के व्युत्पन्न का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, sin (x) का अवकलज 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 +... के बराबर है, जो कि Cos (x) के लिए घात श्रृंखला होता है।

बुनियादी कार्यों के व्युत्पन्न जैसे x^a, घातीय फ़ंक्शन, लॉग फ़ंक्शन और ट्रिगर फ़ंक्शन जैसी शक्तियां, ढलान/सीमा विधि, पावर श्रृंखला विधि या अन्य विधियों का उपयोग करके पाई जाती हैं। ये डेरिवेटिव तब तालिकाओं में सूचीबद्ध होते हैं। उदाहरण के लिए, आप देख सकते हैं कि पाप (x) का व्युत्पन्न Cos (x) है। जब जटिल कार्य बुनियादी कार्यों के संयोजन होते हैं, तो आपको विशेष नियमों की आवश्यकता होती है जैसे कि श्रृंखला नियम और उत्पाद नियम, जो तालिकाओं में भी दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, आप श्रृंखला नियम का उपयोग यह पता लगाने के लिए करते हैं कि sin (x^2) का अवकलज 2xCos (x^2) है। आप गुणनफल नियम का उपयोग यह ज्ञात करने के लिए करते हैं कि xSin (x) का अवकलज xCos (x) + sin (x) है। तालिकाओं और सरल नियमों का उपयोग करके, आप किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पा सकते हैं। लेकिन जब कोई कार्य बेहद जटिल होता है, तो वैज्ञानिक कभी-कभी मदद के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम का सहारा लेते हैं।