गणित में, कभी-कभी यह साबित करने की आवश्यकता होती है कि क्या फलन रैखिक अर्थों में एक दूसरे पर निर्भर हैं या स्वतंत्र हैं। यदि आपके पास दो कार्य हैं जो रैखिक निर्भर हैं, तो उन कार्यों के समीकरणों को रेखांकन करने से अंक ओवरलैप होते हैं। रेखांकन करते समय स्वतंत्र समीकरणों वाले फलन ओवरलैप नहीं होते हैं। यह निर्धारित करने का एक तरीका है कि क्या कार्य निर्भर या स्वतंत्र हैं, कार्यों के लिए व्रोनस्कियन की गणना करना है।
एक व्रोनस्कियन क्या है?
दो या दो से अधिक फलनों का व्रोनस्कियन वह है जिसे एक निर्धारक के रूप में जाना जाता है, जो एक विशेष कार्य है जिसका उपयोग गणितीय वस्तुओं की तुलना करने और उनके बारे में कुछ तथ्यों को साबित करने के लिए किया जाता है। Wronskian के मामले में, निर्धारक का उपयोग दो या दो से अधिक रैखिक कार्यों के बीच निर्भरता या स्वतंत्रता को साबित करने के लिए किया जाता है।
द व्रोनस्कियन मैट्रिक्स
रैखिक कार्यों के लिए Wronskian की गणना करने के लिए, कार्यों को एक मैट्रिक्स के भीतर समान मान के लिए हल करने की आवश्यकता होती है जिसमें फ़ंक्शन और उनके डेरिवेटिव दोनों शामिल होते हैं। इसका एक उदाहरण है
W(f, g)(t)=\begin{vmatrix} f (t) & g (t) \\ f'(t) & g'(t) \end{vmatrix}
जो दो कार्यों के लिए व्रोनस्कियन प्रदान करता है (एफतथाजी) जो एक एकल मान के लिए हल किया जाता है जो शून्य से अधिक है (तो); आप दो कार्य देख सकते हैंएफ(तो) तथाजी(तो) मैट्रिक्स की शीर्ष पंक्ति में, और डेरिवेटिवएफ'(तो) तथाजी'(तो) नीचे की पंक्ति में। ध्यान दें कि व्रोनस्कियन का उपयोग बड़े सेटों के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक Wronskian के साथ तीन कार्यों का परीक्षण करते हैं, तो आप कार्यों और डेरिवेटिव के साथ एक मैट्रिक्स को पॉप्युलेट कर सकते हैंएफ(तो), जी(तो) तथाएच(तो).
व्रोनस्कियन को हल करना
एक बार जब आपके पास मैट्रिक्स में फ़ंक्शन व्यवस्थित हो जाते हैं, तो प्रत्येक फ़ंक्शन को दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के विरुद्ध क्रॉस-गुणा करें और दूसरे से पहला मान घटाएं। ऊपर के उदाहरण के लिए, यह आपको देता है
डब्ल्यू (एफ, जी) (टी) = एफ (टी) जी '(टी) - जी (टी) एफ' (टी)
यदि अंतिम उत्तर शून्य के बराबर है, तो यह दर्शाता है कि दो कार्य निर्भर हैं। यदि उत्तर शून्य के अलावा कुछ और है, तो कार्य स्वतंत्र हैं।
व्रोनस्कियन उदाहरण
यह कैसे काम करता है, इसका बेहतर अंदाजा लगाने के लिए, मान लें कि
f (t) = x + 3 \text{ और } g (t) = x - 2
के मान का उपयोग करनातो= 1, आप कार्यों को हल कर सकते हैं:
च (1) = 4 \पाठ{ और } जी (1) = -1
चूंकि ये 1 के ढलान के साथ बुनियादी रैखिक कार्य हैं, दोनों के व्युत्पन्नएफ(तो) तथाजी(तो) बराबर १. अपने मूल्यों को क्रॉस-गुणा करने से मिलता है
डब्ल्यू(एफ, जी)(1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
जो 5 का अंतिम परिणाम प्रदान करता है। हालांकि रैखिक फलन दोनों का ढलान समान है, वे स्वतंत्र हैं क्योंकि उनके बिंदु ओवरलैप नहीं होते हैं। अगरएफ(तो) ने ४ के बजाय −१ का परिणाम दिया था, तो व्रोनस्कियन ने निर्भरता को इंगित करने के बजाय शून्य का परिणाम दिया होगा।