काल्पनिक संख्याएँ क्या हैं?

गणितज्ञों ने बीजगणित की उन समस्याओं को हल करने के लिए काल्पनिक संख्याओं का आविष्कार किया जो अन्यथा हल नहीं हो सकती थीं। जब आप किसी काल्पनिक संख्या का वर्ग करते हैं, तो आपको एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। हालांकि वे पहली बार में थोड़ा अजीब लग सकते हैं, गणित, विज्ञान और इंजीनियरिंग में काल्पनिक संख्याओं के कई महत्वपूर्ण व्यावहारिक उपयोग हैं।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

जब आप किसी काल्पनिक संख्या का वर्ग करते हैं, तो परिणाम एक ऋणात्मक संख्या होती है।

आप आम तौर पर रोजमर्रा की जिंदगी में वास्तविक संख्याओं से निपटते हैं - बाहर का तापमान, किसी दोस्त के घर की दूरी, या आपके चेंज जार में पैसे की संख्या। ये संख्याएँ वास्तविक वस्तुओं और घटनाओं का प्रतिनिधित्व करती हैं। गिनने के लिए हम जिन पूर्ण संख्याओं का उपयोग करते हैं, उनके अलावा वास्तविक संख्याओं में शून्य और ऋणात्मक संख्याएँ शामिल होती हैं। कुछ संख्याएँ परिमेय हैं; आप उन्हें एक पूर्ण संख्या को दूसरे से भाग देकर प्राप्त करते हैं। अन्य नंबर, जैसे अनुकरणीय, इ, और 2 का वर्गमूल अपरिमेय है। उनके लिए कोई पूर्ण संख्या अनुपात मौजूद नहीं है। यह वास्तविक संख्याओं को एक अनंत लंबी रेखा पर निशान के रूप में चित्रित करने में मदद कर सकता है, जिसमें शून्य बीच में होता है।

1500 के दशक के अंत में, गणितज्ञों ने काल्पनिक संख्याओं के अस्तित्व की खोज की। x^2 + 1 = 0 जैसे समीकरणों को हल करने के लिए काल्पनिक संख्याओं की आवश्यकता होती है। काल्पनिक संख्याओं को वास्तविक संख्याओं से अलग करने के लिए, गणितज्ञ अक्षर का उपयोग करते हैं मैं, आमतौर पर इटैलिक में, जैसे मैं, 3i, 8.4i, जहां, मैं -1 का वर्गमूल है और इससे पहले की संख्या गुणक के रूप में कार्य करती है। उदाहरण के लिए, 8.4i -8.4 का वर्गमूल है। कुछ तकनीकी विषय जैसे इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग पत्र का उपयोग करना पसंद करते हैं जे की बजाय मैं. वे न केवल वास्तविक संख्याओं से भिन्न हैं, बल्कि काल्पनिक संख्याओं की भी अपनी संख्या "रेखा" होती है।

गणित में, काल्पनिक संख्याओं की एक रेखा मौजूद होती है जो वास्तविक संख्या रेखा की तरह होती है। दो रेखाएँ एक दूसरे से समकोण पर बैठती हैं, जैसे किसी ग्राफ़ के x और y-अक्ष। वे प्रत्येक रेखा के शून्य बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। ये संख्या रेखाएँ आपको यह समझने में मदद करती हैं कि वास्तविक और काल्पनिक संख्याएँ कैसे काम करती हैं।

अपने आप में, वास्तविक और काल्पनिक संख्या रेखाएं, ज्यामिति में किसी भी रेखा की तरह, एक आयाम पर कब्जा कर लेती हैं और अनंत लंबाई होती हैं। साथ में, दो संख्या रेखाएं बनाती हैं जिसे गणितज्ञ जटिल संख्या तल कहते हैं - दो आयाम जो किसी भी संख्या का वर्णन करते हैं, चाहे वह वास्तविक, काल्पनिक या जटिल हो। उदाहरण के लिए, 72.15 एक वास्तविक संख्या है, और -15i एक काल्पनिक संख्या है। इन दो संख्याओं के लिए, आप सम्मिश्र संख्या तल पर एक बिंदु पा सकते हैं: 72.15, -15i। ध्यान दें कि यह संख्या समतल पर स्थित है, न कि सीधे काल्पनिक या वास्तविक संख्या रेखाओं पर। यह सैन फ्रांसिस्को की तरह है, जिसमें अक्षांश और देशांतर है लेकिन न तो भूमध्य रेखा पर है और न ही प्रमुख मेरिडियन है।

काल्पनिक और सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक संख्याओं की तरह ही कार्य करती हैं। आप उन्हें किसी भी संयोजन में जोड़, घटा, गुणा और भाग कर सकते हैं। वे गणित के सामान्य नियमों का पालन करते हैं, इस झुर्री के साथ कि काल्पनिक संख्याएँ, जब चुकता हो जाती हैं, तो नकारात्मक उत्तर देती हैं।

काल्पनिक संख्याएँ उपयोगी उपकरण हैं जो कठिन गणित की समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं। इलेक्ट्रॉनिक्स में, एसी सर्किट का वर्णन करने वाले समीकरण काल्पनिक और जटिल संख्या गणित का उपयोग करते हैं। विद्युत चुम्बकीय तरंगों से निपटने के लिए भौतिक विज्ञानी जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं, जो बिजली और चुंबकत्व के गुणों को जोड़ती हैं। क्वांटम यांत्रिकी, उप-परमाणु कणों का अध्ययन, जटिल संख्याओं का भी उपयोग करता है। ज्यामिति में, भग्न आकृतियों का अध्ययन जो अलग-अलग दिशाओं में घूमते और शाखा करते हैं, में जटिल संख्या गणित शामिल है।