गणित में, एक फ़ंक्शन एक नियम है जो एक सेट में प्रत्येक तत्व को डोमेन कहलाता है, दूसरे सेट में ठीक एक तत्व से, जिसे रेंज कहा जाता है। एक परएक्स-आपअक्ष, डोमेन को पर दर्शाया गया हैएक्स-अक्ष (क्षैतिज अक्ष) और पर डोमेनआप-अक्ष (ऊर्ध्वाधर अक्ष)। एक नियम जो डोमेन में एक तत्व को श्रेणी में एक से अधिक तत्वों से जोड़ता है, वह फ़ंक्शन नहीं है। इस आवश्यकता का अर्थ है कि, यदि आप किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करते हैं, तो आपको एक से अधिक स्थानों पर ग्राफ़ को पार करने वाली लंबवत रेखा नहीं मिल सकती है।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
एक संबंध एक फलन तभी होता है जब वह अपने डोमेन के प्रत्येक तत्व को श्रेणी के केवल एक तत्व से संबंधित करता है। जब आप किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करते हैं, तो एक लंबवत रेखा उसे केवल एक बिंदु पर काटेगी।
गणितीय प्रतिनिधित्व
गणितज्ञ आमतौर पर अक्षरों द्वारा कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं "एफ(एक्स)," हालांकि कोई अन्य अक्षर भी ठीक वैसे ही काम करता है। आप अक्षरों को इस प्रकार पढ़ते हैं "एफकाएक्स।" यदि आप फ़ंक्शन को. के रूप में प्रस्तुत करना चुनते हैंजी(आप), आप इसे "के रूप में पढ़ेंगेजीकाआप
फ़ंक्शन के लिए समीकरण उस नियम को परिभाषित करता है जिसके द्वारा इनपुट मान inputएक्सदूसरे नंबर में तब्दील हो जाता है। ऐसा करने के अनंत तरीके हैं। यहाँ तीन उदाहरण हैं:f (x) = 2x \\ \,\\ g (y) = y^2 + 2y + 1 \\ \,\\ p (m) = \frac{1}{\sqrt{m - 3}}
डोमेन का निर्धारण
संख्याओं का समूह जिसके लिए फ़ंक्शन "काम करता है" डोमेन है। यह सभी संख्याएँ हो सकती हैं, या यह संख्याओं का एक विशिष्ट समूह हो सकता है। डोमेन एक या दो को छोड़कर सभी नंबर भी हो सकता है जिसके लिए फ़ंक्शन काम नहीं करता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए डोमेन
f (x) = \frac{1}{2-x}
2 को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं, क्योंकि जब आप दो इनपुट करते हैं, तो हर 0 होता है, और परिणाम अपरिभाषित होता है। के लिए डोमेन
\frac{1}{4 - x^2}
दूसरी ओर, +2 और -2 को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं क्योंकि इन दोनों संख्याओं का वर्ग 4 है।
आप किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखकर उसके डोमेन की पहचान भी कर सकते हैं। चरम बाईं ओर से शुरू होकर दाईं ओर बढ़ते हुए, के माध्यम से लंबवत रेखाएं खींचेंएक्स-एक्सिस। डोमेन के सभी मान हैंएक्सजिसके लिए रेखा ग्राफ को काटती है।
संबंध कब एक कार्य नहीं है?
परिभाषा के अनुसार, एक फ़ंक्शन डोमेन में प्रत्येक तत्व को श्रेणी में केवल एक तत्व से संबंधित करता है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक लंबवत रेखा जिसे आप खींचते हैंएक्स-अक्ष फ़ंक्शन को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकता है। यह सभी रैखिक समीकरणों और उच्च-शक्ति समीकरणों के लिए काम करता है जिसमें केवल x शब्द को एक घातांक तक बढ़ाया जाता है। यह हमेशा उन समीकरणों के लिए काम नहीं करता है जिनमें दोनोंएक्सतथाआपशर्तों को एक शक्ति के लिए उठाया जाता है। उदाहरण के लिए,एक्स2 + आप2 = ए2 एक वृत्त को परिभाषित करता है। एक ऊर्ध्वाधर रेखा एक वृत्त को एक से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती है, इसलिए यह समीकरण एक फलन नहीं है।
सामान्य तौर पर, एक रिश्ताएफ(एक्स) = आपएक फ़ंक्शन केवल तभी होता है, जब. के प्रत्येक मान के लिएएक्सकि आप इसमें प्लग इन करते हैं, आपको इसके लिए केवल एक मान मिलता हैआप. कभी-कभी यह बताने का एकमात्र तरीका है कि दिया गया संबंध एक फ़ंक्शन है या नहीं, यह देखने के लिए कि क्या वे अद्वितीय मान उत्पन्न करते हैं, एक्स के लिए विभिन्न मानों को आजमाएंआप.
उदाहरण:क्या निम्नलिखित समीकरण कार्यों को परिभाषित करते हैं?
वाई = 2x +1
यह ढलान 2 और. के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण हैआप-अवरोध 1, तो यहहैएक समारोह।
वाई^2 = एक्स + 1
लश्करएक्स= 3. y का मान तब ±2 हो सकता है, इसलिए यहक्या नहीं हैएक समारोह।
वाई^3 = एक्स^2
कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस मूल्य के लिए निर्धारित करते हैंएक्स, हम के लिए केवल एक मान प्राप्त करेंगेआप, इसलिए इसहैएक समारोह।
वाई^2 = एक्स^2
चूंकिआप = ±√एक्स2, यहक्या नहीं हैएक समारोह।