सभी गणित के छात्र और कई विज्ञान के छात्र अपनी पढ़ाई के दौरान किसी न किसी स्तर पर बहुपदों का सामना करते हैं, लेकिन शुक्र है कि मूल बातें सीखने के बाद उनका सामना करना आसान होता है। बहुपद व्यंजकों के साथ आपको जो मुख्य कार्य करने होंगे, वे हैं जोड़ना, घटाना, गुणा करना और विभाजित करना, और जबकि विभाजन जटिल हो सकता है, अधिकांश समय आप बुनियादी बातों को संभालने में सक्षम होंगे आराम।
बहुपद: परिभाषा और उदाहरण
बहुपद एक या अधिक पदों के साथ एक बीजीय व्यंजक का वर्णन करता है जिसमें एक चर (या एक से अधिक), घातांक और संभवतः स्थिरांक होते हैं। वे एक चर द्वारा विभाजन शामिल नहीं कर सकते हैं, नकारात्मक या भिन्नात्मक घातांक नहीं हो सकते हैं और शब्दों की एक सीमित संख्या होनी चाहिए।
यह उदाहरण एक बहुपद दिखाता है:
x^3 + 2 x^ 2 - 9 x - 4
और यह एक और दिखाता है:
xy^2 - 3 x + y
बहुपदों को वर्गीकृत करने के कई तरीके हैं, जिनमें डिग्री के आधार पर (उच्चतम शक्ति अवधि पर घातांक का योग, उदाहरण के लिए ३ में) पहला उदाहरण) और उनमें शामिल पदों की संख्या से, जैसे कि एकपदी (एक पद), द्विपद (दो पद) और त्रिपद (तीन पद) शर्तें)।
बहुपदों को जोड़ना और घटाना
बहुपदों को जोड़ना और घटाना "समान" शब्दों के संयोजन पर निर्भर करता है। एक समान पद वह है जिसमें समान चर और दूसरे के रूप में घातांक होते हैं, लेकिन जिस संख्या से वे गुणा करते हैं (गुणांक) भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए,एक्स2 और 4एक्स 2 समान पद हैं क्योंकि उनके चर और घातांक समान हैं, और 2xy 4 और 6xy 4 समान पद भी हैं। हालाँकि,एक्स2, एक्स3, एक्स2आप2 तथाआप2 समान पद नहीं हैं, क्योंकि प्रत्येक में चर और घातांक के विभिन्न संयोजन होते हैं।
समान पदों को उसी प्रकार जोड़कर बहुपदों को जोड़ें जिस प्रकार आप अन्य बीजीय पदों के साथ जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, समस्या को देखें:
(x^3 + 3 x ) + (9 x^3 + 2 x + y)
प्राप्त करने के लिए समान पदों को एकत्रित करें:
(x^3 + 9 x^3) + (3 x + 2 x ) + y
और फिर केवल गुणांकों को एक साथ जोड़कर और एक ही पद में जोड़कर मूल्यांकन करें:
10 x^3 + 5 x + y
ध्यान दें कि आप इसके साथ कुछ नहीं कर सकतेआपक्योंकि इसका कोई समान पद नहीं है।
घटाव उसी तरह काम करता है:
(4 x^4 + 3 y^2 + 6 y ) - (2 x^4 + 2 y^2 + y)
सबसे पहले, ध्यान दें कि दाहिने हाथ के ब्रैकेट के सभी शब्दों को बाएं हाथ के ब्रैकेट में से घटाया जाता है, इसलिए इसे इस प्रकार लिखें:
4 x^4 + 3 y^2 + 6 y - 2 x^4 - 2 y^2- y
समान पदों को मिलाएं और प्राप्त करने के लिए मूल्यांकन करें:
(4 x^4 - 2 x^4) + (3 y^2 - 2 y^2) + (6 y - y) = 2 x^4 + y^2 + 5 y
इस तरह की समस्या के लिए:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2)
ध्यान दें कि ऋण चिह्न दाएँ कोष्ठक में संपूर्ण व्यंजक पर लागू होता है, इसलिए 3. से पहले दो ऋणात्मक चिह्नएक्स2 एक अतिरिक्त संकेत बनें:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2) = 4 xy + x^2 - 6 xy + 3 x^2
फिर पहले की तरह गणना करें।
बहुपद व्यंजकों का गुणन
गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके बहुपद व्यंजकों को गुणा कीजिए। संक्षेप में, पहले बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे पद के प्रत्येक पद से गुणा करें। इस सरल उदाहरण को देखें:
4 x × (2 x^2 + y)
आप इसे वितरण संपत्ति का उपयोग करके हल करते हैं, इसलिए:
\begin{aligned} 4 x × (2 x^2 + y) &= (4 x × 2 x^2) + (4 x × y) \\ &= 8 x^3 + 4 xy \end{aligned}
उसी तरह अधिक जटिल समस्याओं से निपटें:
\begin{aligned} (2 y^3 + 3 x ) × &(5 x^2 + 2 x ) \\ &= (2 y^3 × (5 x^2 + 2 x )) + (3 x × (5 x^2 + 2 x )) \\ &= (2 .) y^3 × 5 x^2) + (2 y^3 × 2 x ) + (3 x × 5 x^2) + (3 x × 2 x ) \\ &= 10 y^3x^2 + 4 y ^3x + 15 x^3 + 6 x^2 \अंत{गठबंधन}
बड़े समूहों के लिए ये समस्याएं जटिल हो सकती हैं, लेकिन मूल प्रक्रिया अभी भी वही है।
बहुपद व्यंजकों को विभाजित करना
बहुपद व्यंजकों को विभाजित करने में अधिक समय लगता है लेकिन आप इसे चरणों में हल कर सकते हैं। अभिव्यक्ति को देखो:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2}
सबसे पहले, एक लंबे विभाजन की तरह अभिव्यक्ति लिखें, बाईं ओर भाजक और दाईं ओर लाभांश:
x + 2 )\overline{x^2 - 3 x - 10}
भाजक के पहले पद को भाजक के पहले पद से विभाजित करें, और परिणाम को विभाजन के ऊपर की रेखा पर रखें। इस मामले में,एक्स2 ÷ एक्स = एक्स, तोह फिर:
\शुरू करें{गठबंधन} औरx \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \end{aligned}
इस परिणाम को पूरे भाजक से गुणा करें, इसलिए इस स्थिति में, (एक्स + 2) × एक्स = एक्स2 + 2 एक्स. इस परिणाम को भाग के नीचे रखें:
\शुरू {गठबंधन} और x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \end{aligned}
नई लाइन पर परिणाम को सीधे इसके ऊपर की शर्तों से घटाएं (ध्यान दें कि तकनीकी रूप से आप संकेत बदलते हैं, इसलिए यदि आपके पास नकारात्मक परिणाम था तो आप इसे इसके बजाय जोड़ देंगे), और इसे इसके नीचे एक लाइन पर रख दें। अंतिम अवधि को मूल लाभांश से भी नीचे ले जाएं।
\शुरू {संरेखित} और x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{aligned}
अब नीचे की रेखा पर भाजक और नए बहुपद के साथ प्रक्रिया को दोहराएं। तो भाजक के पहले पद को विभाजित करें (एक्स) लाभांश के पहले पद से (−5एक्स) और इसे ऊपर रखें:
\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{aligned}
इस परिणाम को गुणा करें (−5एक्स ÷ एक्स= −5) मूल भाजक द्वारा (इसलिए (एक्स + 2) × −5 = −5 एक्स-10) और परिणाम को एक नई निचली रेखा पर रखें:
\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - १० \अंत{गठबंधन}
फिर नीचे की रेखा को अगले एक से घटाएं (इसलिए इस मामले में संकेत बदलें और जोड़ें), और परिणाम को एक नई निचली रेखा पर रखें:
\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ &-5 x - 10 \\ और 0 \quad 0 \end{aligned}
चूंकि अब नीचे शून्य की एक पंक्ति है, इसलिए प्रक्रिया समाप्त हो गई है। यदि गैर-शून्य पद शेष थे, तो आप प्रक्रिया को फिर से दोहराएंगे। परिणाम शीर्ष पंक्ति पर है, इसलिए:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2} = x - 5
यदि आप कर सकते हैं तो इस विभाजन और कुछ अन्य को और अधिक सरलता से हल किया जा सकता है बहुपद का कारक लाभांश में।