कॉलेज के बीजगणित में दो या कम बार, अधिक समीकरणों के बीच एक सामान्य समाधान खोजना, एक आधारभूत कौशल है। कभी-कभी गणित के एक छात्र का सामना दो या दो से अधिक समीकरणों से होता है। कॉलेज बीजगणित में, इन समीकरणों में दो चर, x और y होते हैं। दोनों एक अज्ञात मान रखते हैं, जिसका अर्थ है कि दोनों समीकरणों में, x एक संख्या के लिए है, और y दूसरे के लिए है। ये दो समीकरण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जहां x और y दोनों के लिए समान मान हैं। इन (x, y) मानों को खोजना सामान्य समाधान की परिभाषा है।
इस अवधारणा को समझने का सबसे आसान तरीका एक उदाहरण का उपयोग करना है, उदाहरण के लिए, समीकरण y = 2x और y = 3x + 1। स्वतंत्र रूप से, इन दो समीकरणों में से प्रत्येक में मानों की एक श्रृंखला होती है, y मान बदलता है जिसके आधार पर आप समीकरण में x मान डालते हैं। हालांकि, इन दोनों समीकरणों का एक साथ एक सामान्य समाधान है। दो समीकरणों के साथ, आप उनका और उनके अंदर के चरों का उपयोग यह पता लगाने के लिए कर सकते हैं कि दो समीकरण कहाँ मिलते हैं।
x और y के मानों को खोजने का पहला तरीका दो समीकरणों को रेखांकन करना है, जिसका अर्थ है कि पहले आपको प्लॉट पॉइंट मिलते हैं। इसमें विभिन्न x मानों को जोड़ना और यह देखना है कि कौन सा y मान तब प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, जब आप प्रत्येक समीकरण में मान 0,1,2,3 प्लग करते हैं और दोनों के लिए y मान पाते हैं, तो आपको पहले समीकरण के लिए 0,2,4,6 और के लिए 1,4,7,10 परिणाम मिलते हैं। द्वितीय। पहले समीकरण के लिए (0,0), (1,2), (2,4) और (3,6) प्राप्त करने के लिए इनमें से प्रत्येक को x निर्देशांक के साथ मिलाएं, जो हमेशा प्लॉट बिंदुओं में पहले आते हैं। दूसरा निर्देशांक उत्पन्न करता है (0,1), (1,4), (2,7) और (3,10)। आप जो समाधान देखेंगे वह है (-1,-2)।
x और y अक्ष वाले ग्राफ़ का उपयोग करें। पहले समीकरण में प्रत्येक बिंदु को प्लॉट करने के लिए, प्रत्येक निर्देशांक के x और y मान ज्ञात करें और वहां एक बिंदु चिह्नित करें। इसका अर्थ है क्षैतिज रूप से प्रत्येक x मान की संख्या और लंबवत रूप से प्रत्येक y मान की संख्या की गणना करना। एक बार जब आपके पास पहले समीकरण के लिए चार प्लॉट पॉइंट हों, तो उनके बीच एक रेखा खींचें। दूसरे समीकरण के लिए भी ऐसा ही करें, फिर उनके बीच भी एक रेखा खींचे। चौराहा आम समाधान है। हालांकि, कभी-कभी यह सबसे सुंदर परिणाम नहीं होता है।
इसके बजाय, आप बीजगणितीय रूप से, प्रतिस्थापन द्वारा, y के लिए एक x मान को हल कर सकते हैं। चूंकि y = 2x, आप इसके स्थान पर दूसरे समीकरण में 2x रख सकते हैं। तब आपके पास समीकरण 2x = 3x + 1 होता है। यह -x = 1 हो जाता है, जिसका अर्थ है x = -1। जब आप इसे सरल समीकरण में जोड़ते हैं, तो इसका अर्थ है y = 2(-1) या y = -2।
