अनंत समाधान उन्मूलन विधि

जब आप तीन समीकरणों और तीन अज्ञात (चर) से शुरू करते हैं, तो आप सोच सकते हैं कि आपके पास सभी चरों को हल करने के लिए पर्याप्त जानकारी है। हालांकि, उन्मूलन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, आप पा सकते हैं कि सिस्टम एक अद्वितीय उत्तर खोजने के लिए पर्याप्त रूप से निर्धारित नहीं है, और इसके बजाय अनंत संख्या में समाधान हैं संभव के। यह तब होता है जब सिस्टम में समीकरणों में से एक में जानकारी अन्य समीकरणों में निहित जानकारी के लिए बेमानी है।

3x+2y=5 6x+4y=10 समीकरणों की यह प्रणाली स्पष्ट रूप से बेमानी है। आप केवल एक स्थिरांक से गुणा करके दूसरे से एक समीकरण बना सकते हैं। दूसरे शब्दों में, वे वही जानकारी देते हैं। दो अज्ञात, x और y के लिए दो समीकरण होने के बावजूद, इस प्रणाली के समाधान को x के लिए एक मान और y के लिए एक मान तक सीमित नहीं किया जा सकता है। (x, y)=(1,1) और (5/3,0) दोनों इसे हल करते हैं, जैसा कि कई और समाधान करते हैं। यह "समस्या" की तरह है, जानकारी की यह अपर्याप्तता, जो समीकरणों की बड़ी प्रणालियों में भी अनंत संख्या में समाधान की ओर ले जाती है।

x+y+z=10 x-y+z=0 x_+_z=5 [अंडरस्कोर का प्रयोग केवल स्पेसिंग बनाए रखने के लिए किया जाता है।] एलिमिनेशन विधि द्वारा, दूसरी पंक्ति को पहली से दूसरी पंक्ति को घटाकर x को समाप्त करें, दे x+y+z=10 _2y=10 x_+z=5 पहली पंक्ति से तीसरी पंक्ति घटाकर x को तीसरी पंक्ति से हटा दें। x+y+z=10 _2y=10 आप=5 स्पष्ट रूप से अंतिम दो समीकरण समतुल्य हैं। y 5 के बराबर है, और पहले समीकरण को y को समाप्त करके सरल बनाया जा सकता है। एक्स+5+जेड=10 y__=5 या x+z=5 y=5 ध्यान दें कि उन्मूलन विधि यहां एक अच्छा त्रिकोणीय आकार नहीं देगी, जैसा कि एक अद्वितीय समाधान होने पर होता है। इसके बजाय, अंतिम समीकरण (यदि अधिक नहीं) स्वयं अन्य समीकरणों में समाहित हो जाएगा। सिस्टम अब तीन अज्ञात और केवल दो समीकरणों का है। सिस्टम को "कम निर्धारित" कहा जाता है, क्योंकि सभी चर के मूल्य को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त समीकरण नहीं हैं। अनंत संख्या में समाधान संभव हैं।

उपरोक्त प्रणाली के अनंत समाधान को एक चर के रूप में लिखा जा सकता है। इसे लिखने का एक तरीका है (x, y, z)=(x, 5,5-x)। चूँकि x अनंत संख्या में मान ले सकता है, समाधान अनंत संख्या में मान ले सकता है।