गणित में व्युत्क्रम फलन ज्ञात करने के लिए, आपके पास पहले एक फलन होना चाहिए। यह स्वतंत्र चर के लिए संचालन का लगभग कोई भी सेट हो सकता हैएक्सजो आश्रित चर के लिए एक मान उत्पन्न करता हैआप. सामान्य तौर पर, के एक समारोह के व्युत्क्रम को निर्धारित करने के लिएएक्स, विकल्पआपके लियेएक्सतथाएक्सके लियेआपफ़ंक्शन में, फिर हल करेंएक्स.
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
सामान्य तौर पर, के एक समारोह के व्युत्क्रम को खोजने के लिएएक्स, विकल्पआपके लियेएक्सतथाएक्सके लियेआपफ़ंक्शन में, फिर हल करेंएक्स.
उलटा कार्य परिभाषित
फ़ंक्शन की गणितीय परिभाषा एक संबंध है (एक्स, आप) जिसके लिए. का केवल एक मानआपके किसी भी मूल्य के लिए मौजूद हैएक्स. उदाहरण के लिए, जब का मानएक्स3 है, तो संबंध एक फलन है यदिआपकेवल एक मान है, जैसे 10. किसी फ़ंक्शन का व्युत्क्रम लेता हैआपमूल फ़ंक्शन के मान स्वयं के रूप मेंएक्समूल्यों, और उत्पादनआपवे मान जो मूल कार्य हैंएक्समूल्य। उदाहरण के लिए, यदि मूल फ़ंक्शन वापस आ गया हैआपमान १, ३ और १० जब इसकेएक्सचर के मान 0, 1 और 2 थे, उलटा कार्य वापस आ जाएगाआपमान 0, 1 और 2 जब इसकाएक्सचर के मान 1, 3 और 10 थे। अनिवार्य रूप से, एक उलटा कार्य स्वैप करता है
जी (एफ (एक्स)) = एक्स
प्रतिलोम फलन के लिए बीजगणित उपागम
दो चरों वाले फलन का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,एक्सतथाआप, बदलोएक्सके साथ शर्तेंआपऔर यहआपके साथ शर्तेंएक्स, और के लिए हलएक्स. एक उदाहरण के रूप में, रैखिक समीकरण लें,आप = 7एक्स − 15.
y = 7x - 15 \quad \text{(Original function)} \\ \,\\ x = 7y - 15 \quad \text{(y को x से बदलें और x को y से बदलें)}\\ \,\\ x + 15 = 7y - 15 + 15 \quad \text{(दोनों में 15 जोड़ें पक्षों।)} \\ \,\\ x + 15 = 7y \quad \text{(सरलीकृत करें)} \\ \,\\ \frac{x + 15}{7} = \frac{7y}{7} \ quad\text{(दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करें)} \\ \,\\ \frac{x + 15}{7} = y \quad\text{(सरलीकृत करें)}
कार्यक्रम, (एक्स + 15) / 7 = आपमूल का विलोम है।
उलटा त्रिकोणमितीय कार्य
त्रिकोणमितीय फलन का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए, सभी त्रिकोणमितीय फलनों और उनके प्रतिलोमों के बारे में जानना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि आप का व्युत्क्रम ज्ञात करना चाहते हैंआप= पाप (एक्स), आपको यह जानने की जरूरत है कि साइन फ़ंक्शन का व्युत्क्रम आर्क्सिन फ़ंक्शन है; कोई भी साधारण बीजगणित आपको बिना आर्क्सिन के नहीं मिलेगा (एक्स). अन्य ट्रिगर फ़ंक्शंस, कोसाइन, टेंगेंट, कोसेकेंट, सेकेंट और कोटेंजेंट, क्रमशः आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट, आर्ककोसेकेंट, आर्कसेकेंट और आर्ककोटैंजेंट के विपरीत कार्य हैं। उदाहरण के लिए, in का व्युत्क्रमआप= क्योंकि (एक्स) हैआप= आर्ककोस (एक्स).
फ़ंक्शन और व्युत्क्रम का ग्राफGraph
किसी फलन का ग्राफ और उसका प्रतिलोम रोचक होता है। जब आप दो वक्रों को प्लॉट करते हैं, तो फ़ंक्शन के अनुरूप एक रेखा खींचते हैं,आप = एक्स, आप देखेंगे कि रेखा "दर्पण" के रूप में दिखाई देती है। नीचे कोई वक्र या रेखाआप = एक्सइसके ऊपर सममित रूप से "प्रतिबिंबित" है। यह किसी भी फलन के लिए सही है, चाहे बहुपद, त्रिकोणमितीय, घातांक या रैखिक हो। इस सिद्धांत का उपयोग करते हुए, आप मूल फ़ंक्शन को रेखांकन करके किसी फ़ंक्शन के व्युत्क्रम को रेखांकन कर सकते हैं, रेखा को. पर खींच सकते हैंआप = एक्स, फिर एक "दर्पण छवि" बनाने के लिए आवश्यक वक्र या रेखाएँ खींचना जिसमेंआप = एक्ससमरूपता की धुरी के रूप में।