दो से अधिक गुणनखंडों को सीखना एक सरल बीजगणितीय प्रक्रिया है जिसे अक्सर हाई स्कूल के बाद भुला दिया जाता है। यह जानना कि घातांकों का गुणनखंड कैसे किया जाता है, सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड खोजने के लिए महत्वपूर्ण है, जो बहुपदों के गुणनखंड में आवश्यक है। जब बहुपद की घातों में वृद्धि होती है, तो समीकरण को कारक बनाना अधिक कठिन प्रतीत हो सकता है। फिर भी, सबसे बड़े सामान्य कारक और अनुमान-और-जांच पद्धति के संयोजन का उपयोग करने से आप उच्च डिग्री बहुपदों को हल करें.
सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड (GCF), या सबसे बड़ा संख्यात्मक व्यंजक ज्ञात कीजिए जो बिना शेषफल के दो या अधिक व्यंजकों में विभाजित हो। प्रत्येक कारक के लिए कम से कम घातांक चुनें। उदाहरण के लिए, दो पदों (3x^3 + 6x^2) और (6x^2 - 24) का GCF 3(x + 2) है। आप इसे इसलिए देख सकते हैं क्योंकि (3x^3 + 6x^2) = (3x_x^2 + 3_2x^2)। तो आप 3x^2(x + 2) देते हुए सामान्य शब्दों का गुणनखंड कर सकते हैं। दूसरे पद के लिए, आप जानते हैं कि (6x^2 - 24) = (6x^2 - 6_4)। सामान्य पदों का गुणनखंडन करने पर 6(x^2 - 4) प्राप्त होता है, जो कि 2_3(x + 2)(x - 2) भी है। अंत में, 3(x + 2) देते हुए, दोनों व्यंजकों में दिए गए पदों की न्यूनतम घात निकालिए।
यदि व्यंजक में कम से कम चार पद हैं, तो समूहन विधि द्वारा गुणनखंड का प्रयोग करें। पहले दो पदों को एक साथ समूहित करें, फिर अंतिम दो पदों को एक साथ समूहित करें। उदाहरण के लिए, व्यंजक x^3 + 7x^2 + 2x + 14 से, आपको दो पदों के दो समूह मिलेंगे, (x^3 + 7x^2) + (2x + 14)। यदि आपके पास तीन पद हैं, तो दूसरे खंड पर जाएं।
समीकरण में प्रत्येक द्विपद से GCF का गुणनखंड करें। उदाहरण के लिए, व्यंजक (x^3 + 7x^2) + (2x + 14) के लिए, पहले द्विपद का GCF x^2 है और दूसरे द्विपद का GCF 2 है। तो, आपको x^2(x + 7)+ 2(x + 7) मिलता है।
उभयनिष्ठ द्विपद का गुणनखंडन कीजिए और बहुपद को पुनर्समूहित कीजिए। उदाहरण के लिए, x^2(x + 7) + 2(x + 7) in (x + 7)(x^2 + 2), उदाहरण के लिए।
तीन पदों में से एक सामान्य एकपदी का गुणनखंड कीजिए। उदाहरण के लिए, आप 6x^5 + 5x^4 + x^6 में से एक सामान्य एकपदी, x^4, का गुणनखंड कर सकते हैं। कोष्ठक के अंदर की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि घातांक बाएं से दाएं घटें, जिसके परिणामस्वरूप x^4(x^2 + 6x + 5) हो।
परीक्षण और त्रुटि द्वारा कोष्ठक के अंदर त्रिपद का गुणनखंड करें। उदाहरण के लिए, आप संख्याओं का एक ऐसा युग्म खोज सकते हैं जो मध्य पद तक जुड़ जाए और तीसरे पद से गुणा हो जाए क्योंकि अग्रणी गुणांक एक है। यदि अग्रणी गुणांक एक नहीं है, तो उन संख्याओं की तलाश करें जो प्रमुख गुणांक और स्थिर पद के गुणनफल से गुणा करते हैं और मध्य पद तक जोड़ते हैं।
एक 'x' पद के साथ कोष्ठकों के दो सेट लिखें, जो धन या ऋण चिह्न के साथ दो रिक्त स्थानों से अलग हों। तय करें कि आपको समान या विपरीत संकेतों की आवश्यकता है, जो कि अंतिम अवधि पर निर्भर करता है। पिछले चरण में पाए गए युग्म में से एक संख्या को एक कोष्ठक में और दूसरी संख्या को दूसरे कोष्ठक में रखें। उदाहरण में, आपको x^4(x + 5)(x + 1) मिलेगा। समाधान को सत्यापित करने के लिए गुणा करें। यदि अग्रणी गुणांक एक नहीं था, तो चरण 2 में मिली संख्याओं को x से गुणा करें और मध्य पद को उनके योग से बदलें। फिर, समूह द्वारा कारक। उदाहरण के लिए, 2x^2 + 3x + 1 पर विचार करें। अग्रणी गुणांक और अचर पद का गुणनफल दो है। वे संख्याएँ जो दो से गुणा और तीन में जुड़ती हैं, दो और एक होती हैं। तो आप लिखेंगे, 2x^2 + 3x + 1 = 2x^2 + 2x + x +1। (2x + 1)(x+1) देते हुए, पहले खंड की विधि द्वारा इसका गुणनखंड करें। समाधान को सत्यापित करने के लिए गुणा करें।
