समीकरण की प्रणालियों को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली तीन विधियां प्रतिस्थापन, उन्मूलन और संवर्धित मैट्रिक्स हैं। प्रतिस्थापन और उन्मूलन सरल तरीके हैं जो कुछ सरल चरणों में दो समीकरणों की अधिकांश प्रणालियों को प्रभावी ढंग से हल कर सकते हैं। संवर्धित मैट्रिक्स की विधि के लिए और अधिक चरणों की आवश्यकता होती है, लेकिन इसका अनुप्रयोग अधिक से अधिक विभिन्न प्रकार की प्रणालियों तक फैला हुआ है।
प्रतिस्थापन
प्रतिस्थापन समीकरणों में से एक में एक चर को छोड़कर सभी को हटाकर और फिर उस समीकरण को हल करके समीकरणों के सिस्टम को हल करने की एक विधि है। यह एक समीकरण में दूसरे चर को अलग करके और फिर इन चरों के मूल्यों को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए x + y = 4, 2x - 3y = 3, पहले चर x को अलग करें x = 4 - y प्राप्त करने के लिए समीकरण, फिर y के इस मान को दूसरे समीकरण में 2(4 - y) - 3y = प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापित करें 3. यह समीकरण -5y = -5, या y = 1 को सरल करता है। x: x + 1 = 4 या x = 3 का मान ज्ञात करने के लिए इस मान को दूसरे समीकरण में प्लग करें।
निकाल देना
केवल एक चर के संदर्भ में समीकरणों में से एक को फिर से लिखकर समीकरणों के सिस्टम को हल करने का एक और तरीका है। एक चर को रद्द करने के लिए उन्मूलन विधि एक दूसरे से समीकरणों को जोड़कर या घटाकर इसे प्राप्त करती है। उदाहरण के लिए, समीकरण x + 2y = 3 और 2x - 2y = 3 को जोड़ने पर एक नया समीकरण प्राप्त होता है, 3x = 6 (ध्यान दें कि y शब्द रद्द हो गए हैं)। सिस्टम को तब प्रतिस्थापन के समान विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है। यदि समीकरणों में चरों को रद्द करना असंभव है, तो गुणांकों का मिलान करने के लिए पूरे समीकरण को एक कारक से गुणा करना आवश्यक होगा।
संवर्धित मैट्रिक्स
संवर्धित मैट्रिक्स का उपयोग समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए भी किया जा सकता है। संवर्धित मैट्रिक्स में प्रत्येक समीकरण के लिए पंक्तियाँ, प्रत्येक चर के लिए स्तंभ और एक संवर्धित स्तंभ होता है जिसमें समीकरण के दूसरी ओर स्थिर पद होता है। उदाहरण के लिए, समीकरण 2x + y = 4, 2x - y = 0 के सिस्टम के लिए संवर्धित मैट्रिक्स [[2 1], [2 -1]...[4, 0]] है।
समाधान का निर्धारण
अगले चरण में प्राथमिक पंक्ति संचालन का उपयोग करना शामिल है जैसे कि एक पंक्ति को शून्य के अलावा एक स्थिरांक से गुणा या विभाजित करना और पंक्तियों को जोड़ना या घटाना। इन परिचालनों का लक्ष्य मैट्रिक्स को पंक्ति-क्षेत्रीय रूप में परिवर्तित करना है, जिसमें प्रत्येक पंक्ति में पहली गैर-शून्य प्रविष्टि 1 है, प्रविष्टियां इस प्रविष्टि के ऊपर और नीचे सभी शून्य हैं, और प्रत्येक पंक्ति के लिए पहली गैर-शून्य प्रविष्टि हमेशा पंक्तियों में ऐसी सभी प्रविष्टियों के दाईं ओर होती है इसके ऊपर। उपरोक्त मैट्रिक्स के लिए रो-एस्केलॉन फॉर्म [[1 0], [0 1]...[1, 2]] है। पहले चर का मान पहली पंक्ति (1x + 0y = 1 या x = 1) द्वारा दिया जाता है। दूसरे चर का मान दूसरी पंक्ति (0x + 1y = 2 या y = 2) द्वारा दिया जाता है।
अनुप्रयोग
प्रतिस्थापन और उन्मूलन समीकरणों को हल करने के सरल तरीके हैं और मूल बीजगणित में संवर्धित मैट्रिक्स की तुलना में अधिक बार उपयोग किए जाते हैं। प्रतिस्थापन विधि विशेष रूप से तब उपयोगी होती है जब किसी एक चर को पहले से ही समीकरणों में से एक में पृथक किया जाता है। उन्मूलन विधि तब उपयोगी होती है जब सभी समीकरणों में किसी एक चर का गुणांक समान (या उसके ऋणात्मक समतुल्य) हो। संवर्धित मैट्रिक्स का प्राथमिक लाभ यह है कि इसका उपयोग उन स्थितियों में तीन या अधिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जहां प्रतिस्थापन और उन्मूलन या तो असंभव या असंभव है।